Номер 3, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 36. Тождества. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 3, страница 125.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства тождества $(x - y)(x + y) - (a - x + y)(a - x - y) - a(2x - a) = 0$ преобразуем его левую часть. Будем выполнять преобразования по шагам.

1. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первому слагаемому:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

2. Во втором слагаемом сгруппируем члены, чтобы также применить формулу разности квадратов. Представим $(a - x + y)(a - x - y)$ как $((a - x) + y)((a - x) - y)$:

$((a - x) + y)((a - x) - y) = (a - x)^2 - y^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(a - x)^2 - y^2 = (a^2 - 2ax + x^2) - y^2 = a^2 - 2ax + x^2 - y^2$

3. В третьем слагаемом раскроем скобки:

$-a(2x - a) = -2ax + a^2$

4. Теперь подставим все упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$(x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - (2ax - a^2)$

Так как перед последней скобкой нет знака "минус" в исходном выражении, а есть $-a(2x-a)$, то правильно будет так:

$(x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) + (-2ax + a^2)$

Раскроем все скобки, учитывая знаки:

$x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2$

5. Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (-y^2 + y^2) + (-a^2 + a^2) + (2ax - 2ax) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

В результате преобразования левая часть оказалась равна 0, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(x - y)(x + y) - (a - x + y)(a - x - y) - a(2x - a) = 0$ доказано.

б) Для доказательства тождества $(p + x)(p - x) - (p - x + c)(p + x - c) - c(c - 2x) = 0$ преобразуем его левую часть.

1. Применим формулу разности квадратов к первому слагаемому:

$(p + x)(p - x) = p^2 - x^2$

2. Во втором слагаемом сгруппируем члены. Заметим, что $(p - x + c)(p + x - c)$ можно представить в виде $(p + (c - x))(p - (c - x))$:

$(p + (c - x))(p - (c - x)) = p^2 - (c - x)^2$

Раскроем квадрат разности:

$p^2 - (c^2 - 2cx + x^2) = p^2 - c^2 + 2cx - x^2$

3. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$-c(c - 2x) = -c^2 + 2cx$

4. Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$(p^2 - x^2) - (p^2 - c^2 + 2cx - x^2) + (-c^2 + 2cx)$

Раскроем все скобки, учитывая знаки:

$p^2 - x^2 - p^2 + c^2 - 2cx + x^2 - c^2 + 2cx$

5. Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(p^2 - p^2) + (-x^2 + x^2) + (c^2 - c^2) + (-2cx + 2cx) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть равна 0, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество $(p + x)(p - x) - (p - x + c)(p + x - c) - c(c - 2x) = 0$ доказано.