Номер 7, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 36. Тождества. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7, страница 128.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Доказательство:

Для доказательства тождества $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2$ преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Преобразуем левую часть:

$(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = ((3x + y) - (3x - y))((3x + y) + (3x - y)) = (3x + y - 3x + y)(3x + y + 3x - y) = (2y)(6x) = 12xy$.

Преобразуем правую часть:

$(3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2 = ((3xy + 1) - (3xy - 1))((3xy + 1) + (3xy - 1)) = (3xy + 1 - 3xy + 1)(3xy + 1 + 3xy - 1) = (2)(6xy) = 12xy$.

Так как левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению ($12xy$), они равны между собой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как обе части равны $12xy$.

б) Доказательство:

Для доказательства тождества $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0$ преобразуем левую часть, применяя к каждому слагаемому формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Первое слагаемое: $(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.

Второе слагаемое: $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.

Третье слагаемое: $(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть тождества равна 0, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть после преобразований равна 0.

в) Доказательство:

Для доказательства тождества $(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2) = 2(a^4 - b^4)$ преобразуем его левую часть.

Сначала преобразуем произведение первых двух множителей по формуле разности квадратов:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Далее преобразуем третий множитель, раскрыв скобки по формулам квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ и квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a - b)^2 + (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в левую часть исходного выражения:

$(a^2 - b^2) \cdot (2(a^2 + b^2)) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ - $b^2$:

$2((a^2)^2 - (b^2)^2) = 2(a^4 - b^4)$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть после преобразований равна $2(a^4 - b^4)$.