Номер 9, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 9, страница 116.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для разложения многочлена $(n + 3)^3 - (n - 3)^3$ на множители используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае, пусть $a = n + 3$ и $b = n - 3$.

1. Найдем первый множитель $(a - b)$:
$a - b = (n + 3) - (n - 3) = n + 3 - n + 3 = 6$.

2. Найдем второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ (неполный квадрат суммы):
$a^2 = (n + 3)^2 = n^2 + 6n + 9$.
$ab = (n + 3)(n - 3) = n^2 - 3^2 = n^2 - 9$.
$b^2 = (n - 3)^2 = n^2 - 6n + 9$.
Сложим эти три выражения:
$a^2 + ab + b^2 = (n^2 + 6n + 9) + (n^2 - 9) + (n^2 - 6n + 9)$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + b^2 = (n^2 + n^2 + n^2) + (6n - 6n) + (9 - 9 + 9) = 3n^2 + 9$.

3. Теперь перемножим полученные множители:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 6(3n^2 + 9)$.
Можно вынести общий множитель 3 из второй скобки:
$6 \cdot 3(n^2 + 3) = 18(n^2 + 3)$.

Ответ: $18(n^2 + 3)$.

б) Для разложения многочлена $(x + y)^3 - (x - y)^3$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Здесь $a = x + y$ и $b = x - y$.

1. Найдем первый множитель $(a - b)$:
$a - b = (x + y) - (x - y) = x + y - x + y = 2y$.

2. Найдем второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$:
$a^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$ab = (x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
$b^2 = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Сложим эти выражения:
$a^2 + ab + b^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + b^2 = (x^2 + x^2 + x^2) + (2xy - 2xy) + (y^2 - y^2 + y^2) = 3x^2 + y^2$.

3. Перемножим полученные множители:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2y(3x^2 + y^2)$.

Ответ: $2y(3x^2 + y^2)$.

в) Для разложения многочлена $(a - b)^3 + (a + b)^3$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В данном случае, пусть $x = a - b$ и $y = a + b$.

1. Найдем первый множитель $(x + y)$:
$x + y = (a - b) + (a + b) = a - b + a + b = 2a$.

2. Найдем второй множитель $(x^2 - xy + y^2)$ (неполный квадрат разности):
$x^2 = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$xy = (a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
$y^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Вычислим $x^2 - xy + y^2$:
$(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - b^2) + (a^2 + 2ab + b^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 2ab + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 - a^2 + a^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 + b^2 + b^2) = a^2 + 3b^2$.

3. Перемножим полученные множители:
$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 2a(a^2 + 3b^2)$.

Ответ: $2a(a^2 + 3b^2)$.

г) Для разложения многочлена $(m - 1)^3 + (m + 1)^3$ используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Здесь $a = m - 1$ и $b = m + 1$.

1. Найдем первый множитель $(a + b)$:
$a + b = (m - 1) + (m + 1) = m - 1 + m + 1 = 2m$.

2. Найдем второй множитель $(a^2 - ab + b^2)$:
$a^2 = (m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1$.
$ab = (m - 1)(m + 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$.
$b^2 = (m + 1)^2 = m^2 + 2m + 1$.
Вычислим $a^2 - ab + b^2$:
$(m^2 - 2m + 1) - (m^2 - 1) + (m^2 + 2m + 1)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$m^2 - 2m + 1 - m^2 + 1 + m^2 + 2m + 1 = (m^2 - m^2 + m^2) + (-2m + 2m) + (1 + 1 + 1) = m^2 + 3$.

3. Перемножим полученные множители:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2m(m^2 + 3)$.

Ответ: $2m(m^2 + 3)$.