Номер 10, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 37. Функция y=x^2 и её график. Глава 8. Функция y=x^2 - номер 10, страница 132.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = x^2$ и $y = 4$

Для решения задачи необходимо построить графики данных функций и найти их точки пересечения. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. График функции $y = 4$ — это прямая линия, параллельная оси x, проходящая через точку (0, 4). На предоставленном графике уже построены обе функции. Видно, что они пересекаются в двух точках.

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, решим систему уравнений, приравняв правые части:

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Поскольку в обеих точках $y = 4$, координаты точек пересечения: (-2, 4) и (2, 4).

Ответ: A(-2; 4), B(2; 4).

б) $y = x^2$ и $y = x + 2$

Сначала построим графики функций. График $y = x^2$ — это стандартная парабола. График $y = x + 2$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки. Например, при $x = 0$, $y = 2$ (точка (0, 2)), и при $x = -2$, $y = 0$ (точка (-2, 0)). Соединив эти точки, получим прямую.

Теперь найдём координаты точек пересечения алгебраически. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = x + 2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдём соответствующие значения $y$:

• При $x_1 = 2$, $y_1 = 2^2 = 4$. Точка пересечения C(2; 4).
• При $x_2 = -1$, $y_2 = (-1)^2 = 1$. Точка пересечения D(-1; 1).

Ответ: C(2; 4), D(-1; 1).

в) $y = x^2$ и $y = x$

Построим графики. График $y = x^2$ — стандартная парабола. График $y = x$ — прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов, проходящая через точки (0, 0) и (1, 1).

Найдём точки пересечения, решив систему уравнений:

$x^2 = x$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдём соответствующие значения $y$:

• При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения E(0; 0).
• При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения F(1; 1).

Ответ: E(0; 0), F(1; 1).

г) $y = x^2$ и $y = -3$

Построим графики. График $y = x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0) и ветвями вверх. Все значения этой функции неотрицательны ($y \ge 0$). График $y = -3$ — прямая, параллельная оси x, проходящая через точку (0, -3). Эта прямая целиком лежит ниже оси x.

Поскольку парабола $y=x^2$ находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), а прямая $y=-3$ — в нижней, их графики не пересекаются.

Алгебраическое решение подтверждает это. Приравняем уравнения:

$x^2 = -3$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: Точек пересечения нет.

д) $y = -x^2$ и $y = -x - 2$

Построим графики. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вниз. График $y = -x - 2$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: при $x = 0$, $y = -2$ (точка (0, -2)), и при $x = -2$, $y = -(-2) - 2 = 0$ (точка (-2, 0)).

Найдём точки пересечения алгебраически:

$-x^2 = -x - 2$

Умножим обе части на -1:

$x^2 = x + 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (как и в пункте б) $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдём соответствующие значения $y$ (подставляя в $y = -x^2$):

• При $x_1 = 2$, $y_1 = -(2^2) = -4$. Точка пересечения N(2; -4).
• При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1)^2 = -1$. Точка пересечения P(-1; -1).

Ответ: N(2; -4), P(-1; -1).

е) $y = -x^2$ и $y = -x$

Построим графики. График $y = -x^2$ — парабола с ветвями вниз. График $y = -x$ — прямая, являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов, проходящая через точки (0, 0) и (1, -1).

Найдём точки пересечения, решив систему:

$-x^2 = -x$

$x^2 = x$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдём соответствующие значения $y$ (подставляя в $y = -x$):

• При $x_1 = 0$, $y_1 = -0 = 0$. Точка пересечения Q(0; 0).
• При $x_2 = 1$, $y_2 = -1$. Точка пересечения R(1; -1).

Ответ: Q(0; 0), R(1; -1).