Номер 7, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 1. Рациональные числа - номер 7, страница 5.

Условие.

7. Какие из данных высказываний не являются верными:

а) если $a \in N$ и $a + b \in N$, то $b \in N$;

б) если $a \in N$ и $ab \in N$, то $b \in N$;

в) если $a \in N$ и $a - b \in N$, то $b \in N$;

г) если $a - b \in N$ и $b \in N$, то $a \in N$?

Решение.

Решение 2.

Для определения, какие из высказываний не являются верными, проанализируем каждое из них. Будем исходить из стандартного определения множества натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

а) если $a \in N$ и $a + b \in N$, то $b \in N$

Данное высказывание не является верным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.Пусть $a = 3$ и $b = -2$.Проверяем условия:1. $a = 3$ является натуральным числом, то есть $a \in N$.2. Сумма $a + b = 3 + (-2) = 1$. Число 1 является натуральным, следовательно, $a + b \in N$.Оба условия выполнены.Теперь проверяем заключение:$b = -2$ не является натуральным числом, то есть $b \notin N$.Заключение неверно. Следовательно, все высказывание не является верным.
Ответ: высказывание не является верным.

б) если $a \in N$ и $ab \in N$, то $b \in N$

Данное высказывание не является верным. Приведем контрпример.Пусть $a = 2$ и $b = 0.5$ (или $b = \frac{1}{2}$).Проверяем условия:1. $a = 2$ является натуральным числом, $a \in N$.2. Произведение $ab = 2 \cdot 0.5 = 1$. Число 1 является натуральным, следовательно, $ab \in N$.Оба условия выполнены.Проверяем заключение:$b = 0.5$ не является натуральным числом, то есть $b \notin N$.Заключение неверно. Следовательно, высказывание не является верным.
Ответ: высказывание не является верным.

в) если $a \in N$ и $a - b \in N$, то $b \in N$

Данное высказывание не является верным. Приведем контрпример.Пусть $a = 5$ и $b = -3$.Проверяем условия:1. $a = 5$ является натуральным числом, $a \in N$.2. Разность $a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Число 8 является натуральным, следовательно, $a - b \in N$.Оба условия выполнены.Проверяем заключение:$b = -3$ не является натуральным числом, то есть $b \notin N$.Заключение неверно. Следовательно, высказывание не является верным.
Ответ: высказывание не является верным.

г) если $a - b \in N$ и $b \in N$, то $a \in N$

Данное высказывание является верным. Проведем доказательство.Пусть $c = a - b$. По условию, $c \in N$ и $b \in N$.Из равенства $c = a - b$ выразим $a$:$a = c + b$.Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения. Это означает, что сумма двух любых натуральных чисел всегда является натуральным числом.Поскольку $c \in N$ и $b \in N$, их сумма $a = c + b$ также будет натуральным числом, то есть $a \in N$.Высказывание верно для любых натуральных $b$ и $a-b$.
Ответ: высказывание является верным.

Таким образом, неверными являются высказывания а), б) и в).