Номер 11, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 1. Рациональные числа - номер 11, страница 7.

Условие.

11. Не вычисляя значения выражения, сравните его с единицей:

а) $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}$ 1;

б) $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2}$ 1;

в) $\frac{(1,46 + 7,16)^2}{2 \cdot 1,46 \cdot 7,16}$ 1;

г) $\frac{234 \cdot 176 + 117^2}{(117 + 176)^2}$ 1.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сравнить дробь $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}$ с единицей, введем обозначения $a = 276$ и $b = 143$. Выражение примет вид $\frac{a^2 + b^2}{(a + b)^2}$. Раскроем знаменатель по формуле квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$. Так как $a$ и $b$ — положительные числа ($276 > 0$ и $143 > 0$), их произведение $2ab$ также положительно. Знаменатель дроби $(a^2 + 2ab + b^2)$ равен числителю $(a^2 + b^2)$ плюс положительное слагаемое $2ab$. Следовательно, знаменатель больше числителя. Для дроби с положительным числителем и знаменателем это означает, что ее значение меньше 1.
Ответ: $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} < 1$

б) Сравним выражение $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2}$ с единицей. Обозначим $a = 4,17$ и $b = 3,94$. Выражение запишется как $\frac{(a - b)^2}{a^2 + b^2}$. Раскроем числитель по формуле квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Получим дробь $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2}$. Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то $2ab > 0$. Числитель дроби $(a^2 - 2ab + b^2)$ равен знаменателю $(a^2 + b^2)$ минус положительное число $2ab$. Значит, числитель меньше знаменателя. Поскольку числитель и знаменатель положительны (так как $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \ge 0$ и $a^2+b^2>0$), значение дроби меньше 1.
Ответ: $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2} < 1$

в) Сравним дробь $\frac{(1,46 + 7,16)^2}{2 \cdot 1,46 \cdot 7,16}$ с единицей. Пусть $a = 1,46$ и $b = 7,16$. Выражение принимает вид $\frac{(a + b)^2}{2ab}$. Раскроем числитель по формуле квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Дробь станет равной $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2ab}$. Мы можем разделить числитель почленно на знаменатель: $\frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{2ab}{2ab} = \frac{a^2 + b^2}{2ab} + 1$. Так как $a$ и $b$ положительны, то $a^2 > 0$, $b^2 > 0$, и их сумма $a^2 + b^2$ положительна. Знаменатель $2ab$ также положителен. Значит, слагаемое $\frac{a^2 + b^2}{2ab}$ — положительное число. Прибавляя к единице положительное число, мы получаем результат, который больше единицы.
Ответ: $\frac{(1,46 + 7,16)^2}{2 \cdot 1,46 \cdot 7,16} > 1$

г) Требуется сравнить $\frac{234 \cdot 176 + 117^2}{(117 + 176)^2}$ с 1. Заметим, что в числителе есть число $234$, которое равно $2 \cdot 117$. Обозначим $a = 117$ и $b = 176$. Тогда числитель можно записать как $(2 \cdot a) \cdot b + a^2 = 2ab + a^2$. Знаменатель — это $(a + b)^2$, что по формуле квадрата суммы равно $a^2 + 2ab + b^2$. Итак, исходное выражение равно $\frac{a^2 + 2ab}{a^2 + 2ab + b^2}$. Числитель дроби — это $a^2 + 2ab$. Знаменатель — это $(a^2 + 2ab) + b^2$. Так как $b = 176$, то $b^2$ — положительное число. Знаменатель больше числителя на положительную величину $b^2$. Поскольку и числитель, и знаменатель положительны, значение дроби меньше 1.
Ответ: $\frac{234 \cdot 176 + 117^2}{(117 + 176)^2} < 1$