Номер 11, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 6. Тождества. Тождественные преобразования выражений - номер 11, страница 25.

Условие.

11. Ученикам было предложено составить формулу для нахождения площади $S$ фигуры, изображённой на рисунке 1. Один из учеников достроил фигуру до квадрата (рис. 2) и получил формулу $S=a^2-b^2$. Другой ученик разбил фигуру на два прямоугольника (рис. 3) и получил формулу $S=a(a-b)+b(a-b)$. Докажите, что выражения, записанные в правой части каждой из полученных формул, тождественно равны.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что выражения, записанные в правой части каждой из полученных формул, тождественно равны, необходимо доказать равенство: $a^2 - b^2 = a(a-b) + b(a-b)$.

Для доказательства преобразуем правую часть второго выражения $a(a-b) + b(a-b)$. Сделать это можно двумя способами.

Способ 1: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в выражении $a(a-b) + b(a-b)$:

$a(a-b) = a \cdot a - a \cdot b = a^2 - ab$

$b(a-b) = b \cdot a - b \cdot b = ab - b^2$

Теперь сложим полученные результаты:

$a^2 - ab + ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые: $-ab$ и $+ab$ взаимно уничтожаются.

$a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы получили, что $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$.

Способ 2: Вынесение общего множителя

В выражении $a(a-b) + b(a-b)$ есть общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки:

$a(a-b) + b(a-b) = (a+b)(a-b)$

Выражение $(a+b)(a-b)$ — это формула сокращенного умножения "разность квадратов", которая равна $a^2 - b^2$.

Следовательно, $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату, доказывая, что выражения тождественно равны.
Ответ: Тождество $a^2 - b^2 = a(a-b) + b(a-b)$ доказано путем алгебраического преобразования выражения $a(a-b) + b(a-b)$ в выражение $a^2 - b^2$.