Номер 14, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 6. Тождества. Тождественные преобразования выражений - номер 14, страница 25.

Условие.

14. Является ли тождеством равенство:

а) $|a^2 + 11| = a^2 + 11;$

б) $|a^2 - 11| = a^2 - 11;$

в) $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + (4 + y^2);$

г) $|5 - a^2| + |5 + a^2| = 10?$

Ответ: а) ................... б) ................... в) ................... г) ...................

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы определить, является ли равенство $|a^2 + 11| = a^2 + 11$ тождеством, нужно проверить, выполняется ли оно для всех возможных значений переменной $a$. По определению абсолютной величины (модуля), $|x| = x$ тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае, нам нужно проверить, всегда ли выражение $a^2 + 11$ является неотрицательным. Квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен: $a^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + 11 \ge 0 + 11$, то есть $a^2 + 11 \ge 11$. Поскольку выражение $a^2 + 11$ всегда положительно, его модуль равен самому выражению. Таким образом, данное равенство является тождеством.
Ответ: да.

б) Рассмотрим равенство $|a^2 - 11| = a^2 - 11$. Аналогично предыдущему пункту, это равенство будет верным только в том случае, если выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a^2 - 11 \ge 0$. Это условие выполняется не для всех значений $a$. Например, если взять $a = 1$, то $a^2 - 11 = 1^2 - 11 = -10$. Подставим $a=1$ в исходное равенство: Левая часть: $|1^2 - 11| = |-10| = 10$. Правая часть: $1^2 - 11 = -10$. Поскольку $10 \ne -10$, равенство не выполняется для $a=1$. Следовательно, оно не является тождеством.
Ответ: нет.

в) Рассмотрим равенство $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + (4 + y^2)$. Сначала упростим правую часть, используя свойство коммутативности сложения: $x^2 + (4 + y^2) = x^2 + y^2 + 4$. Равенство принимает вид: $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + y^2 + 4$. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ их квадраты неотрицательны: $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также неотрицательна: $x^2 + y^2 \ge 0$. Прибавив 4, получим: $x^2 + y^2 + 4 \ge 4$. Так как выражение $x^2 + y^2 + 4$ всегда положительно, его модуль равен самому выражению. Следовательно, данное равенство является тождеством.
Ответ: да.

г) Рассмотрим равенство $|5 - a^2| + |5 + a^2| = 10$. Проанализируем выражения под знаками модуля. Выражение $5 + a^2$ всегда положительно, так как $a^2 \ge 0$, а значит $5 + a^2 \ge 5$. Поэтому $|5 + a^2| = 5 + a^2$. Равенство можно переписать в виде: $|5 - a^2| + 5 + a^2 = 10$. Рассмотрим два случая для раскрытия первого модуля: 1. Если $5 - a^2 \ge 0$, то есть $a^2 \le 5$ (или $-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$). В этом случае $|5 - a^2| = 5 - a^2$. Равенство становится: $(5 - a^2) + (5 + a^2) = 10$. Упрощая, получаем $10 = 10$. Это верное равенство, значит, для всех $a$ из промежутка $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$ исходное равенство выполняется. 2. Если $5 - a^2 < 0$, то есть $a^2 > 5$ (или $a > \sqrt{5}$ или $a < -\sqrt{5}$). В этом случае $|5 - a^2| = -(5 - a^2) = a^2 - 5$. Равенство становится: $(a^2 - 5) + (5 + a^2) = 10$. Упрощая, получаем $2a^2 = 10$, откуда $a^2 = 5$. Но это решение противоречит условию $a^2 > 5$, при котором мы рассматривали этот случай. Поскольку равенство выполняется только при $a^2 \le 5$, а не для всех действительных чисел $a$, оно не является тождеством. Например, при $a=3$, $a^2 = 9 > 5$: $|5 - 9| + |5 + 9| = |-4| + |14| = 4 + 14 = 18$. Так как $18 \ne 10$, равенство не является тождеством.
Ответ: нет.