Номер 12, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 2. Функции. 12. Вычисление значений функции по формуле - номер 12, страница 52.

Условие.

12. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{5}{x^2 - 9}$;

б) $y = \frac{6}{x^2 + 25}$;

в) $y = \frac{7}{|x| - 1}$?

Решение.

Решение 2.

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробей таким ограничением является то, что знаменатель не может быть равен нулю.

Рассмотрим функцию $y = \frac{5}{x^2 - 9}$.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 - 9$ обращается в ноль:

$x^2 - 9 = 0$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

Таким образом, функция не определена в точках $x = 3$ и $x = -3$. Областью определения являются все действительные числа, кроме этих двух точек.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{6}{x^2 + 25}$.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 + 25$ равен нулю.

$x^2 + 25 = 0$

$x^2 = -25$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поэтому выражение $x^2 + 25$ всегда будет положительным (как минимум $0 + 25 = 25$). Уравнение $x^2 = -25$ не имеет решений в области действительных чисел.

Так как знаменатель никогда не равен нулю, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{7}{|x| - 1}$.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| - 1$ равен нулю.

$|x| - 1 = 0$

$|x| = 1$

Модуль числа равен 1, если само число равно 1 или -1.

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Следовательно, функция не определена в точках $x = 1$ и $x = -1$. Областью определения являются все действительные числа, за исключением этих двух.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.