Номер 17, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 2. Функции. 15. Линейная функция и её график - номер 17, страница 68.

Условие.

17. На рисунке изображён график

функции $y = ax + b$. Постройте:

а) график функции $y = -ax + b$;

б) график функции $y = ax - 2b$.

Решение.

Решение 2.

Сначала определим параметры a и b для исходной функции $y = ax + b$ по её графику.

Коэффициент b — это ордината точки пересечения графика с осью y (y-перехват). Из рисунка видно, что график пересекает ось y в точке с координатами (0; 2). Следовательно, $b = 2$.

Коэффициент a — это угловой коэффициент, который показывает наклон прямой. Для его нахождения выберем две удобные точки на графике, через которые проходит прямая. Например, точка пересечения с осью y (0; 2) и точка пересечения с осью x (-3; 0). Угловой коэффициент равен отношению изменения координаты y к изменению координаты x между этими двумя точками:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, исходная функция, изображенная на графике, имеет вид: $y = \frac{2}{3}x + 2$.

а) график функции y = -ax + b;

Подставим найденные значения $a = \frac{2}{3}$ и $b = 2$ в уравнение новой функции:

$y = -(\frac{2}{3})x + 2$, то есть $y = -\frac{2}{3}x + 2$.

График этой функции можно получить из исходного графика $f(x) = ax + b$ с помощью преобразования $g(x) = -ax + b = a(-x) + b = f(-x)$. Такое преобразование является симметричным отражением графика исходной функции относительно оси y.

Для построения прямой нам достаточно двух точек:

1. Точка пересечения с осью y останется той же, так как коэффициент b не изменился: (0; 2).
2. Найдем точку пересечения с осью x. Приравняем y к нулю: $0 = -\frac{2}{3}x + 2$, откуда $\frac{2}{3}x = 2$, и $x = 3$. Точка пересечения с осью x — (3; 0).

Чтобы построить график, нужно провести прямую через точки (0; 2) и (3; 0).

Ответ: Прямая, проходящая через точки (0; 2) и (3; 0).

б) график функции y = ax - 2b.

Подставим известные значения $a = \frac{2}{3}$ и $b = 2$ в это уравнение:

$y = \frac{2}{3}x - 2 \cdot 2$, то есть $y = \frac{2}{3}x - 4$.

Сравнивая это уравнение с исходным $y = \frac{2}{3}x + 2$, мы видим, что угловой коэффициент a остался прежним ($a = \frac{2}{3}$). Это означает, что новая прямая будет параллельна исходной.

Коэффициент b изменился с 2 на -4. Это означает, что график исходной функции был сдвинут параллельно вдоль оси y вниз. Величина сдвига равна $-4 - 2 = -6$ единиц.

Для построения новой прямой найдем две точки:

1. Точка пересечения с осью y (y-перехват) определяется новым свободным членом и равна (0; -4).
2. Найдем точку пересечения с осью x, приравняв y к нулю: $0 = \frac{2}{3}x - 4$, откуда $\frac{2}{3}x = 4$, и $x = 6$. Точка пересечения — (6; 0).

Чтобы построить график, нужно провести прямую через точки (0; -4) и (6; 0).

Ответ: Прямая, параллельная исходной и проходящая через точки (0; -4) и (6; 0).