Номер 12, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 17. Умножение и деление степеней - номер 12, страница 77.

Условие.

12. Зная, что $3^n = 729$, найдите значение выражения:

а) $3^{n+1}=$

б) $3^{n+2} : 9 =$

в) $3^{n+3} \cdot \frac{1}{9} =$

г) $3^{n+4} : 81 =$

Решение.

Решение 2.

Для решения всех пунктов задачи мы будем использовать данное по условию равенство $3^n = 729$, а также свойства степеней.

а) $3^{n+1}$ =

Для нахождения значения данного выражения воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1$

По условию задачи нам известно, что $3^n = 729$. Подставим это значение в полученное выражение:

$729 \cdot 3 = 2187$

Ответ: 2187

б) $3^{n+2} : 9$ =

Для решения воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$. Сначала представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$9 = 3^2$

Теперь наше выражение выглядит так:

$3^{n+2} : 3^2$

Применяем свойство частного степеней:

$3^{n+2} : 3^2 = 3^{(n+2)-2} = 3^n$

Из условия задачи мы знаем, что $3^n = 729$.

Ответ: 729

в) $3^{n+3} \cdot \frac{1}{9}$ =

Для решения преобразуем выражение. Представим дробь $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Теперь выражение можно записать так:

$3^{n+3} \cdot 3^{-2}$

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$3^{n+3} \cdot 3^{-2} = 3^{(n+3)+(-2)} = 3^{n+3-2} = 3^{n+1}$

Это выражение совпадает с выражением из пункта а). Вычислим его значение, используя $3^n = 729$:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 729 \cdot 3 = 2187$

Ответ: 2187

г) $3^{n+4} : 81$ =

Для решения воспользуемся свойством частного степеней. Сначала представим число 81 в виде степени с основанием 3:

$81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$

Теперь наше выражение выглядит так:

$3^{n+4} : 3^4$

Применяем свойство частного степеней $a^m : a^k = a^{m-k}$:

$3^{n+4} : 3^4 = 3^{(n+4)-4} = 3^n$

Согласно условию задачи, $3^n = 729$.

Ответ: 729