Номер 3, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 3, страница 78.

Условие.

3. Представьте, если возможно, число $7^{12}$ в виде степени с основанием: $7^2$; $7^3$; $7^4$; $7^5$; $7^6$; $7^{10}$.

$7^{12}=(7^2)^6$;

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы представить число $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^m$, необходимо найти такое целое число $n$, чтобы выполнялось равенство $(7^m)^n = 7^{12}$. Используя свойство возведения степени в степень, $(a^k)^p = a^{k \cdot p}$, мы получаем уравнение $m \cdot n = 12$.

Следовательно, такое представление возможно только в том случае, если показатель степени 12 делится нацело на показатель степени в новом основании $m$. Другими словами, $m$ должно быть делителем числа 12. Рассмотрим каждый случай.

$7^2$

Требуется представить $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^2$. Ищем такое целое число $n$, что $(7^2)^n = 7^{12}$.

Из свойства степени получаем $7^{2 \cdot n} = 7^{12}$, откуда $2 \cdot n = 12$.

Решая уравнение, находим $n = \frac{12}{2} = 6$.

Так как $n=6$ — целое число, представление возможно.

Ответ: $7^{12} = (7^2)^6$.

$7^3$

Требуется представить $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^3$. Ищем такое целое число $n$, что $(7^3)^n = 7^{12}$.

Из свойства степени получаем $7^{3 \cdot n} = 7^{12}$, откуда $3 \cdot n = 12$.

Решая уравнение, находим $n = \frac{12}{3} = 4$.

Так как $n=4$ — целое число, представление возможно.

Ответ: $7^{12} = (7^3)^4$.

$7^4$

Требуется представить $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^4$. Ищем такое целое число $n$, что $(7^4)^n = 7^{12}$.

Из свойства степени получаем $7^{4 \cdot n} = 7^{12}$, откуда $4 \cdot n = 12$.

Решая уравнение, находим $n = \frac{12}{4} = 3$.

Так как $n=3$ — целое число, представление возможно.

Ответ: $7^{12} = (7^4)^3$.

$7^5$

Требуется представить $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^5$. Ищем такое целое число $n$, что $(7^5)^n = 7^{12}$.

Из свойства степени получаем $7^{5 \cdot n} = 7^{12}$, откуда $5 \cdot n = 12$.

Решая уравнение, находим $n = \frac{12}{5} = 2.4$.

Так как $n=2.4$ не является целым числом, представить $7^{12}$ в виде целой степени с основанием $7^5$ невозможно.

Ответ: невозможно.

$7^6$

Требуется представить $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^6$. Ищем такое целое число $n$, что $(7^6)^n = 7^{12}$.

Из свойства степени получаем $7^{6 \cdot n} = 7^{12}$, откуда $6 \cdot n = 12$.

Решая уравнение, находим $n = \frac{12}{6} = 2$.

Так как $n=2$ — целое число, представление возможно.

Ответ: $7^{12} = (7^6)^2$.

$7^{10}$

Требуется представить $7^{12}$ в виде степени с основанием $7^{10}$. Ищем такое целое число $n$, что $(7^{10})^n = 7^{12}$.

Из свойства степени получаем $7^{10 \cdot n} = 7^{12}$, откуда $10 \cdot n = 12$.

Решая уравнение, находим $n = \frac{12}{10} = 1.2$.

Так как $n=1.2$ не является целым числом, представить $7^{12}$ в виде целой степени с основанием $7^{10}$ невозможно.

Ответ: невозможно.