Номер 13, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 17. Умножение и деление степеней - номер 13, страница 77.

Условие.

13. Найдите значение выражения:

а) $ \underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{16 \text{ раз}} = $

б) $ \underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{9 \text{ раз}} - (-1)^{4n} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Данное выражение представляет собой произведение 16 одинаковых множителей $(-1)^n$.

$\underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{16 \text{ раз}} = ((-1)^n)^{16}$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$((-1)^n)^{16} = (-1)^{n \cdot 16} = (-1)^{16n}$

Поскольку число 16 — четное, то и произведение $16n$ будет четным числом при любом целом значении $n$. Число $-1$ в любой четной степени равно 1.

$(-1)^{16n} = 1$

Ответ: $1$.

б)

Рассмотрим выражение по частям. Первая часть — это произведение 9 множителей $(-1)^n$, а вторая — это $(-1)^{4n}$.

Упростим первую часть:

$\underbrace{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot \ldots \cdot (-1)^n}_{9 \text{ раз}} = ((-1)^n)^9 = (-1)^{9n}$

Упростим вторую часть выражения. Показатель степени $4n$ всегда является четным числом, так как один из множителей (4) — четный. Следовательно:

$(-1)^{4n} = 1$

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(-1)^{9n} - (-1)^{4n} = (-1)^{9n} - 1$

Значение этого выражения зависит от четности числа $n$.

1. Если $n$ — четное число, то произведение $9n$ также будет четным. В этом случае $(-1)^{9n} = 1$. Тогда значение выражения равно:

$1 - 1 = 0$

2. Если $n$ — нечетное число, то произведение $9n$ будет нечетным. В этом случае $(-1)^{9n} = -1$. Тогда значение выражения равно:

$-1 - 1 = -2$

Таким образом, выражение имеет два возможных значения в зависимости от четности $n$.

Ответ: $0$, если $n$ — четное число; $-2$, если $n$ — нечетное число.