Номер 6, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 17. Умножение и деление степеней - номер 6, страница 76.

Условие.

6. Представьте выражение $a^8$ всеми возможными способами в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием $a$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы представить выражение $a^8$ в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием $a$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Согласно этому свойству, задача сводится к нахождению всех пар показателей $m$ и $n$, сумма которых равна 8:

$m + n = 8$

В рамках школьной программы обычно рассматриваются целые неотрицательные показатели (0, 1, 2, ...). Будем искать все уникальные пары таких чисел. Порядок множителей не важен, так как умножение коммутативно ($a^m \cdot a^n = a^n \cdot a^m$), поэтому пара $(m, n)$ и $(n, m)$ дает один и тот же способ.

Найдем все такие пары, предполагая, что $m \leq n$:

• Если $m=0$, то $n=8$. Произведение: $a^0 \cdot a^8$. (Напомним, что $a^0 = 1$ при $a \neq 0$).
• Если $m=1$, то $n=7$. Произведение: $a^1 \cdot a^7$ (или просто $a \cdot a^7$).
• Если $m=2$, то $n=6$. Произведение: $a^2 \cdot a^6$.
• Если $m=3$, то $n=5$. Произведение: $a^3 \cdot a^5$.
• Если $m=4$, то $n=4$. Произведение: $a^4 \cdot a^4$.

Дальнейшее увеличение $m$ (например, $m=5$) приведет к повторению уже найденных пар ($n=3$). Таким образом, мы перечислили все возможные способы для целых неотрицательных показателей.

Стоит отметить, что если бы допускались и отрицательные целые показатели, то количество способов было бы бесконечным (например, $a^9 \cdot a^{-1}$, $a^{10} \cdot a^{-2}$ и так далее).

Ответ:

Всего существует 5 способов представить выражение $a^8$ в виде произведения двух степеней с основанием $a$ (при условии, что показатели степеней являются целыми неотрицательными числами):

1. $a^0 \cdot a^8$
2. $a \cdot a^7$
3. $a^2 \cdot a^6$
4. $a^3 \cdot a^5$
5. $a^4 \cdot a^4$