Номер 4, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 4, страница 78.

Условие.

4. Представьте выражение в виде степени с основанием x:

а) $(x^6)^2 \cdot x^m = $

б) $(x^m)^3 \cdot (x^3)^5 = $

в) $(x^{5m})^4 \cdot x^{m+2} = $

г) $x^{m+1} \cdot (x^{3m})^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить выражение $(x^6)^2 \cdot x^m$ в виде степени с основанием $x$, необходимо последовательно применить свойства степеней.
1. Сначала используем правило возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$.
Для первого множителя $(x^6)^2$ получаем: $x^{6 \cdot 2} = x^{12}$.
2. После этого исходное выражение примет вид: $x^{12} \cdot x^m$.
3. Теперь используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.
Складываем показатели степеней: $x^{12} \cdot x^m = x^{12+m}$.
Ответ: $x^{12+m}$.

б) Рассмотрим выражение $(x^m)^3 \cdot (x^3)^5$. Для его упрощения выполним следующие шаги:
1. Применим правило возведения степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ к каждому из множителей.
Для первого множителя: $(x^m)^3 = x^{m \cdot 3} = x^{3m}$.
Для второго множителя: $(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$.
2. Теперь выражение выглядит как произведение двух степеней: $x^{3m} \cdot x^{15}$.
3. Воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:
$x^{3m} \cdot x^{15} = x^{3m+15}$.
Ответ: $x^{3m+15}$.

в) Упростим выражение $(x^{5m})^4 \cdot x^{m+2}$.
1. Сначала возведем первый множитель в степень по правилу $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$:
$(x^{5m})^4 = x^{5m \cdot 4} = x^{20m}$.
2. Выражение теперь имеет вид: $x^{20m} \cdot x^{m+2}$.
3. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$ и сложим показатели:
$x^{20m} \cdot x^{m+2} = x^{20m + (m+2)} = x^{20m+m+2}$.
4. Упростим показатель степени: $20m+m+2 = 21m+2$.
Таким образом, получаем $x^{21m+2}$.
Ответ: $x^{21m+2}$.

г) Представим выражение $x^{m+1} \cdot (x^{3m})^3$ в виде степени с основанием $x$.
1. Упростим второй множитель, используя правило возведения степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$:
$(x^{3m})^3 = x^{3m \cdot 3} = x^{9m}$.
2. Теперь перемножим степени: $x^{m+1} \cdot x^{9m}$.
3. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:
$x^{m+1} \cdot x^{9m} = x^{(m+1)+9m}$.
4. Сложим слагаемые в показателе степени: $m+1+9m = 10m+1$.
В результате получаем $x^{10m+1}$.
Ответ: $x^{10m+1}$.