Номер 11, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 11, страница 80.

Условие.

11. Упростите выражение:

$((2x^3)^2)^4 = (4x^6)^4 = 256x^{24}$

а) $((-3x^6)^3)^2 = $

б) $((2x^5y^4)^4)^2 = $

в) $((-x^2y^3)^3)^5 = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $ ((-3x^6)^3)^2 $, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае показатели степеней, находящиеся за скобками, перемножаются: $ 3 \cdot 2 = 6 $. Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду $ (-3x^6)^6 $.

Далее, используя свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$, возводим в 6-ю степень каждый множитель, находящийся в скобках:

$ (-3x^6)^6 = (-3)^6 \cdot (x^6)^6 $.

Теперь вычисляем каждую часть отдельно:

$ (-3)^6 = 729 $ (поскольку степень четная, результат будет положительным).

$ (x^6)^6 = x^{6 \cdot 6} = x^{36} $ (снова применяем свойство возведения степени в степень).

Соединяем полученные результаты: $ 729x^{36} $.

Ответ: $ 729x^{36} $

б) Упростим выражение $ ((2x^5y^4)^4)^2 $. По свойству возведения степени в степень, перемножим внешние показатели: $ 4 \cdot 2 = 8 $. Выражение принимает вид $ (2x^5y^4)^8 $.

Теперь возведем в 8-ю степень каждый множитель в скобках, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n $:

$ (2x^5y^4)^8 = 2^8 \cdot (x^5)^8 \cdot (y^4)^8 $.

Вычисляем значение каждого множителя:

$ 2^8 = 256 $.

$ (x^5)^8 = x^{5 \cdot 8} = x^{40} $.

$ (y^4)^8 = y^{4 \cdot 8} = y^{32} $.

Объединяя результаты, получаем итоговое выражение: $ 256x^{40}y^{32} $.

Ответ: $ 256x^{40}y^{32} $

в) Упростим выражение $ ((-x^2y^3)^3)^5 $. Сначала перемножим показатели степеней за скобками: $ 3 \cdot 5 = 15 $. Исходное выражение становится $ (-x^2y^3)^{15} $.

Возведем в 15-ю степень каждый множитель. Важно учесть, что $ -x^2y^3 $ можно представить как $ (-1) \cdot x^2 \cdot y^3 $:

$ (-x^2y^3)^{15} = (-1)^{15} \cdot (x^2)^{15} \cdot (y^3)^{15} $.

Вычисляем значения для каждого множителя:

$ (-1)^{15} = -1 $ (поскольку 15 - нечетное число, результат будет отрицательным).

$ (x^2)^{15} = x^{2 \cdot 15} = x^{30} $.

$ (y^3)^{15} = y^{3 \cdot 15} = y^{45} $.

Собираем все части вместе: $ -1 \cdot x^{30}y^{45} = -x^{30}y^{45} $.

Ответ: $ -x^{30}y^{45} $