Номер 15, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 15, страница 81.

Условие.

15. Зная, что $m^4 = a$, найдите, чему равно произведение:

$(m^3)^{10} \cdot (-m)^6 = m^{30} \cdot m^6 = m^{36} = (m^4)^9 = a^9$

а) $(-m)^{14} \cdot (2m^5)^6 =$

б) $(-m^3)^6 \cdot (-m^2)^3 =$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся свойствами степеней:

• При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным: $(-x)^{2n} = x^{2n}$
• При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным: $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$
• При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(x^a)^b = x^{ab}$
• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• Степень произведения равна произведению степеней: $(xy)^n = x^n y^n$

По условию задачи дано, что $m^4 = a$.

а) $(-m)^{14} \cdot (2m^5)^6$

Сначала упростим выражение. Так как показатель степени 14 — четное число, то $(-m)^{14} = m^{14}$.

Далее, $(2m^5)^6 = 2^6 \cdot (m^5)^6 = 64 \cdot m^{5 \cdot 6} = 64m^{30}$.

Теперь перемножим полученные части: $m^{14} \cdot 64m^{30} = 64 \cdot m^{14+30} = 64m^{44}$.

Чтобы выразить результат через $a$, представим $m^{44}$ как степень от $m^4$: $m^{44} = m^{4 \cdot 11} = (m^4)^{11}$.

Подставим $m^4 = a$ в полученное выражение: $64(m^4)^{11} = 64a^{11}$.

Ответ: $64a^{11}$

б) $(-m^3)^6 \cdot (-m^2)^3$

Упростим первый множитель. Так как показатель степени 6 — четное число, то $(-m^3)^6 = (m^3)^6 = m^{3 \cdot 6} = m^{18}$.

Упростим второй множитель. Так как показатель степени 3 — нечетное число, то $(-m^2)^3 = -(m^2)^3 = -m^{2 \cdot 3} = -m^6$.

Теперь перемножим полученные части: $m^{18} \cdot (-m^6) = -m^{18+6} = -m^{24}$.

Выразим результат через $a$. Для этого представим $m^{24}$ как степень от $m^4$: $m^{24} = m^{4 \cdot 6} = (m^4)^6$.

Подставим $m^4 = a$ в полученное выражение: $-(m^4)^6 = -a^6$.

Ответ: $-a^6$