Номер 14, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 14, страница 80.

Условие.

14. Является ли целым числом значение выражения:

а) $ \frac{41^4 \cdot 35^5 - 2^2}{10} $;

б) $ \frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10} $?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, является ли значение выражения целым числом, нужно проверить, делится ли числитель на знаменатель (10) без остатка. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. Обоснуем ответ для каждого случая, найдя последнюю цифру числителя.

а) $\frac{41^4 \cdot 35^5 - 2^2}{10}$

Найдем последнюю цифру числителя $41^4 \cdot 35^5 - 2^2$.

1. Последняя цифра числа $41^4$: любое натуральное число, оканчивающееся на 1, в любой натуральной степени также оканчивается на 1. Значит, $41^4$ оканчивается на 1.

2. Последняя цифра числа $35^5$: любое натуральное число, оканчивающееся на 5, в любой натуральной степени (кроме нулевой) также оканчивается на 5. Значит, $35^5$ оканчивается на 5.

3. Последняя цифра произведения $41^4 \cdot 35^5$ равна последней цифре произведения их последних цифр: $1 \cdot 5 = 5$.

4. Вычислим $2^2 = 4$.

5. Последняя цифра числителя — это последняя цифра разности числа, оканчивающегося на 5, и числа 4. То есть, последняя цифра выражения $...5 - 4$ равна 1.

Поскольку числитель оканчивается на 1, он не делится на 10 нацело. Следовательно, значение выражения не является целым числом.

Ответ: нет, не является.

б) $\frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10}$

Найдем последнюю цифру числителя $(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9$.

1. Упростим выражение в числителе. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $(6^2)^6 = 6^{12}$. Таким образом, числитель равен $6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$.

2. Найдем последнюю цифру уменьшаемого $6^{12} \cdot 41^6$.Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6, поэтому последняя цифра $6^{12}$ — это 6.Как мы выяснили ранее, $41^6$ оканчивается на 1.Последняя цифра произведения $6^{12} \cdot 41^6$ равна последней цифре произведения их последних цифр: $6 \cdot 1 = 6$.

3. Найдем последнюю цифру вычитаемого $6^9$. Так как основание степени оканчивается на 6, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 6.

4. Последняя цифра всего числителя равна последней цифре разности $...6 - ...6$, что равно 0.

Так как числитель оканчивается на 0, он делится на 10 без остатка. Следовательно, значение выражения является целым числом.

Ответ: да, является.