Номер 16, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 16, страница 81.

Условие.

16. Укажите все пары натуральных значений переменных $a$ и $n$,при которых верно равенство:

a) $a^n = (2^4)^2$;

б) $a^n = (4^2)^3$.

Решение.

Решение 2.

а) $a^n = (2^4)^2$

Сначала упростим правую часть равенства, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:
$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.

Таким образом, мы получаем уравнение $a^n = 2^8$.
По условию, $a$ и $n$ — натуральные числа. Так как правая часть равенства является степенью числа 2, то и основание $a$ в левой части также должно быть степенью числа 2. Представим $a$ в виде $a = 2^k$, где $k$ — натуральное число.

Подставим это в уравнение:
$(2^k)^n = 2^8$
$2^{k \cdot n} = 2^8$
Отсюда следует, что произведение показателей $k \cdot n$ должно быть равно 8.

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел $k$ и $n$, произведение которых равно 8. Делителями числа 8 являются 1, 2, 4, 8. Рассмотрим все возможные случаи, чтобы найти соответствующие пары $(a, n)$:

• Если $k=1$, то $n=8$. Тогда $a=2^1=2$. Получаем пару $(a, n) = (2, 8)$.
• Если $k=2$, то $n=4$. Тогда $a=2^2=4$. Получаем пару $(a, n) = (4, 4)$.
• Если $k=4$, то $n=2$. Тогда $a=2^4=16$. Получаем пару $(a, n) = (16, 2)$.
• Если $k=8$, то $n=1$. Тогда $a=2^8=256$. Получаем пару $(a, n) = (256, 1)$.

Ответ: $(2, 8)$, $(4, 4)$, $(16, 2)$, $(256, 1)$.

б) $a^n = (4^2)^3$

Упростим правую часть равенства. Сначала представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.
$(4^2)^3 = ((2^2)^2)^3$.

Используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$ дважды, получаем:
$((2^2)^2)^3 = (2^{2 \cdot 2})^3 = (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Теперь уравнение имеет вид $a^n = 2^{12}$.
Аналогично предыдущему пункту, $a$ должно быть степенью числа 2, то есть $a = 2^k$ для некоторого натурального числа $k$.

Подставляем это в уравнение:
$(2^k)^n = 2^{12}$
$2^{k \cdot n} = 2^{12}$
Следовательно, произведение показателей $k \cdot n$ равно 12.

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел $k$ и $n$, произведение которых равно 12. Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим все возможные случаи, чтобы найти соответствующие пары $(a, n)$:

• Если $k=1$, то $n=12$. Тогда $a=2^1=2$. Получаем пару $(a, n) = (2, 12)$.
• Если $k=2$, то $n=6$. Тогда $a=2^2=4$. Получаем пару $(a, n) = (4, 6)$.
• Если $k=3$, то $n=4$. Тогда $a=2^3=8$. Получаем пару $(a, n) = (8, 4)$.
• Если $k=4$, то $n=3$. Тогда $a=2^4=16$. Получаем пару $(a, n) = (16, 3)$.
• Если $k=6$, то $n=2$. Тогда $a=2^6=64$. Получаем пару $(a, n) = (64, 2)$.
• Если $k=12$, то $n=1$. Тогда $a=2^{12}=4096$. Получаем пару $(a, n) = (4096, 1)$.

Ответ: $(2, 12)$, $(4, 6)$, $(8, 4)$, $(16, 3)$, $(64, 2)$, $(4096, 1)$.