Номер 12, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 12, страница 80.

Условие.

12. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{3^5 \cdot (3^2)^3}{3^{12}} = $

б) $ \frac{4^3 \cdot (-2^4)^2}{2^{11}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{3^5 \cdot (3^2)^3}{3^{12}}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, имеем:
$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$.
Теперь числитель принимает вид $3^5 \cdot 3^6$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{3^{11}}{3^{12}}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$3^{11-12} = 3^{-1}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, находим окончательное значение:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{4^3 \cdot (-2^4)^2}{2^{11}}$, приведем все степени к основанию 2 и воспользуемся свойствами степеней.
Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $4^3 = (2^2)^3$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.
Теперь упростим второй множитель в числителе $(-2^4)^2$. Так как квадрат любого действительного числа положителен, то $(-x)^2 = x^2$. Таким образом:
$(-2^4)^2 = (2^4)^2$.
Снова применяем свойство возведения степени в степень:
$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.
Теперь числитель имеет вид $2^6 \cdot 2^8$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^6 \cdot 2^8 = 2^{6+8} = 2^{14}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2^{14}}{2^{11}}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$2^{14-11} = 2^3$.
Вычисляем значение:
$2^3 = 8$.
Ответ: 8.