Номер 13, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 13, страница 80.

Условие.

13. Какой цифрой оканчивается число, равное значению выражения:

а) $3^8 + 25$;

б) $9^{12} - 1$;

в) $6^{15} + 7$?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $3^8 + 25$, необходимо найти последнюю цифру каждого из слагаемых и определить последнюю цифру их суммы.
1. Найдем последнюю цифру числа $3^8$. Для этого рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры степеней числа 3 образуют повторяющуюся последовательность (цикл) длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру для $3^8$, разделим показатель степени 8 на длину цикла 4: $8 \div 4 = 2$ (остаток 0). Если остаток равен 0, то последняя цифра совпадает с последней цифрой последнего члена цикла, то есть с последней цифрой $3^4$. Таким образом, $3^8$ оканчивается на 1.
2. Число 25 оканчивается на цифру 5.
3. Найдем последнюю цифру суммы. Для этого сложим последние цифры слагаемых: $1 + 5 = 6$.
Следовательно, значение выражения $3^8 + 25$ оканчивается на 6.
Ответ: 6.

б) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $9^{12} - 1$, необходимо найти последнюю цифру уменьшаемого $9^{12}$ и вычесть из нее последнюю цифру вычитаемого 1.
1. Найдем последнюю цифру числа $9^{12}$. Рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 9:
$9^1 = 9$
$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)
$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)
Последние цифры степеней числа 9 образуют цикл длиной 2: (9, 1). Если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра — 9. Если показатель степени — четное число, то последняя цифра — 1.
Поскольку показатель степени 12 — четное число, то $9^{12}$ оканчивается на 1.
2. Число 1 оканчивается на 1.
3. Найдем последнюю цифру разности. Вычтем последние цифры: $1 - 1 = 0$.
Следовательно, значение выражения $9^{12} - 1$ оканчивается на 0.
Ответ: 0.

в) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $6^{15} + 7$, необходимо найти последнюю цифру каждого из слагаемых и определить последнюю цифру их суммы.
1. Найдем последнюю цифру числа $6^{15}$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6.
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$
Следовательно, число $6^{15}$ оканчивается на 6.
2. Число 7 оканчивается на 7.
3. Найдем последнюю цифру суммы. Сложим последние цифры слагаемых: $6 + 7 = 13$. Последняя цифра числа 13 — это 3.
Следовательно, значение выражения $6^{15} + 7$ оканчивается на 3.
Ответ: 3.