Номер 8, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 18. Возведение в степень произведения и степени - номер 8, страница 79.

Условие.

8. Впишите недостающий множитель вида $a^m$ так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) .......... $\cdot (a^2)^3 = a^{10};$

б) .......... $\cdot (a^7)^2 = a^{15};$

в) $(a^{12})^2 \cdot$ .......... $= a^{26};$

г) $(-a^4)^2 \cdot$ .......... $= a^{18}.$

Решение.

Решение 2.

а) Обозначим недостающий множитель как $a^m$. Тогда исходное равенство принимает вид:

$a^m \cdot (a^2)^3 = a^{10}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^k)^n = x^{k \cdot n}$ для упрощения второго множителя:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.

Теперь равенство выглядит так: $a^m \cdot a^6 = a^{10}$.

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^k \cdot x^n = x^{k+n}$, получаем:

$a^{m+6} = a^{10}$.

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$m + 6 = 10$

$m = 10 - 6 = 4$.

Следовательно, недостающий множитель — это $a^4$.

Ответ: $a^4$

б) Обозначим недостающий множитель как $a^m$. Получаем равенство:

$a^m \cdot (a^7)^2 = a^{15}$

Упростим второй множитель, используя свойство $(x^k)^n = x^{k \cdot n}$:

$(a^7)^2 = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$.

Подставим в равенство: $a^m \cdot a^{14} = a^{15}$.

По свойству умножения степеней $x^k \cdot x^n = x^{k+n}$:

$a^{m+14} = a^{15}$.

Приравниваем показатели степеней:

$m + 14 = 15$

$m = 15 - 14 = 1$.

Таким образом, недостающий множитель — это $a^1$ или просто $a$.

Ответ: $a$

в) Обозначим недостающий множитель как $a^m$. Равенство выглядит так:

$(a^{12})^2 \cdot a^m = a^{26}$

Упростим первый множитель по свойству $(x^k)^n = x^{k \cdot n}$:

$(a^{12})^2 = a^{12 \cdot 2} = a^{24}$.

Получаем: $a^{24} \cdot a^m = a^{26}$.

По свойству умножения степеней $x^k \cdot x^n = x^{k+n}$:

$a^{24+m} = a^{26}$.

Приравниваем показатели:

$24 + m = 26$

$m = 26 - 24 = 2$.

Следовательно, недостающий множитель — это $a^2$.

Ответ: $a^2$

г) Обозначим недостающий множитель как $a^m$. Получаем равенство:

$(-a^4)^2 \cdot a^m = a^{18}$

Упростим первый множитель. Так как показатель степени (2) — четное число, то знак минус исчезает: $(-x)^2 = x^2$.

$(-a^4)^2 = (a^4)^2$.

Теперь применим свойство $(x^k)^n = x^{k \cdot n}$:

$(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$.

Равенство принимает вид: $a^8 \cdot a^m = a^{18}$.

По свойству умножения степеней $x^k \cdot x^n = x^{k+n}$:

$a^{8+m} = a^{18}$.

Приравниваем показатели степеней:

$8 + m = 18$

$m = 18 - 8 = 10$.

Таким образом, недостающий множитель — это $a^{10}$.

Ответ: $a^{10}$