Номер 4, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень - номер 4, страница 85.

Условие.

4. Представьте выражение в виде квадрата или куба одночлена:

а) $49x^6=$

б) $-125a^{12}=$

в) $\frac{4}{81}b^{18}c^8=$

г) $-0.064x^9y^{24}=$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить выражение $49x^6$ в виде квадрата или куба одночлена, необходимо проанализировать его составляющие. Числовой коэффициент $49$ является квадратом числа $7$, так как $7^2 = 49$. Это указывает на то, что всё выражение, скорее всего, является квадратом. Степень переменной $x^6$ можно представить как квадрат, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такое $m$, чтобы $(x^m)^2 = x^6$. Отсюда $2m=6$, значит $m=3$. Таким образом, $x^6 = (x^3)^2$. Объединив обе части, получаем: $49x^6 = 7^2 \cdot (x^3)^2 = (7x^3)^2$.

Ответ: $(7x^3)^2$.

б) Рассмотрим выражение $-125a^{12}$. Наличие знака "минус" говорит о том, что это не может быть квадратом действительного числа, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Проверим, является ли это выражение кубом. Коэффициент $-125$ является кубом числа $-5$, так как $(-5)^3 = -125$. Степень переменной $a^{12}$ можно представить как куб: $(a^m)^3 = a^{12}$. Из этого уравнения находим $m$: $3m=12$, значит $m=4$. Таким образом, $a^{12} = (a^4)^3$. Собираем все вместе: $-125a^{12} = (-5)^3 \cdot (a^4)^3 = (-5a^4)^3$.

Ответ: $(-5a^4)^3$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{4}{81}b^{18}c^8$. Коэффициент в виде дроби $\frac{4}{81}$. Числитель $4$ является квадратом числа $2$ ($2^2=4$), а знаменатель $81$ является квадратом числа $9$ ($9^2=81$). Следовательно, $\frac{4}{81} = (\frac{2}{9})^2$. Это полный квадрат, поэтому всё выражение будем представлять в виде квадрата. Теперь рассмотрим степени переменных. Для $b^{18}$ ищем такое $m$, чтобы $(b^m)^2 = b^{18}$. Отсюда $2m=18$ и $m=9$. Значит, $b^{18} = (b^9)^2$. Для $c^8$ ищем такое $k$, чтобы $(c^k)^2 = c^8$. Отсюда $2k=8$ и $k=4$. Значит, $c^8 = (c^4)^2$. Объединяем все части в один квадрат: $\frac{4}{81}b^{18}c^8 = (\frac{2}{9})^2 \cdot (b^9)^2 \cdot (c^4)^2 = (\frac{2}{9}b^9c^4)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{9}b^9c^4)^2$.

г) Рассмотрим выражение $-0,064x^9y^{24}$. Знак "минус" указывает, что это не может быть квадратом. Проверим, является ли это кубом. Коэффициент $-0,064$ можно записать как десятичную дробь. Мы знаем, что $4^3 = 64$, поэтому $(0,4)^3 = 0,064$. Значит, $-0,064 = (-0,4)^3$. Рассмотрим степени переменных. Для $x^9$ ищем $m$ такое, что $(x^m)^3 = x^9$. Отсюда $3m=9$ и $m=3$. Значит, $x^9 = (x^3)^3$. Для $y^{24}$ ищем $k$ такое, что $(y^k)^3 = y^{24}$. Отсюда $3k=24$ и $k=8$. Значит, $y^{24} = (y^8)^3$. Объединяем все части в один куб: $-0,064x^9y^{24} = (-0,4)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^8)^3 = (-0,4x^3y^8)^3$.

Ответ: $(-0,4x^3y^8)^3$.