Номер 11, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень - номер 11, страница 86.

Условие.

11. Впишите недостающий одночлен так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $(7a^3b^4)^2$ ... $= 98a^{12}b^9$;

б) $(ab^4)^3$ ... $= 36a^{11}b^{18}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы найти недостающий одночлен, обозначим его за $X$. Исходное равенство примет вид:

$(7a^3b^4)^2 \cdot X = 98a^{12}b^9$

Сначала упростим выражение в скобках, возведя его в квадрат, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(7a^3b^4)^2 = 7^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 49a^{3 \cdot 2}b^{4 \cdot 2} = 49a^6b^8$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$49a^6b^8 \cdot X = 98a^{12}b^9$

Чтобы найти $X$, разделим правую часть уравнения на известный множитель из левой части:

$X = \frac{98a^{12}b^9}{49a^6b^8}$

Выполним деление, разделив отдельно коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$X = (\frac{98}{49}) \cdot (\frac{a^{12}}{a^6}) \cdot (\frac{b^9}{b^8}) = 2 \cdot a^{12-6} \cdot b^{9-8} = 2a^6b^1 = 2a^6b$

Таким образом, недостающий одночлен — это $2a^6b$.

Ответ: $2a^6b$

б)

Обозначим недостающий одночлен за $Y$. Тогда равенство будет выглядеть так:

$(ab^4)^3 \cdot Y = 36a^{11}b^{18}$

Сначала упростим выражение в скобках, возведя его в куб:

$(ab^4)^3 = a^3 \cdot (b^4)^3 = a^3b^{4 \cdot 3} = a^3b^{12}$

Теперь уравнение имеет вид:

$a^3b^{12} \cdot Y = 36a^{11}b^{18}$

Чтобы найти $Y$, разделим правую часть уравнения на известный множитель из левой части:

$Y = \frac{36a^{11}b^{18}}{a^3b^{12}}$

Выполним деление, разделив отдельно коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$Y = 36 \cdot (\frac{a^{11}}{a^3}) \cdot (\frac{b^{18}}{b^{12}}) = 36 \cdot a^{11-3} \cdot b^{18-12} = 36a^8b^6$

Таким образом, недостающий одночлен — это $36a^8b^6$.

Ответ: $36a^8b^6$