Номер 12, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень - номер 12, страница 87.

Условие.

12. Выполняя преобразования, ученик пришёл к выводу, что каждое из выражений:

а) $(-3bc)^4 \cdot 3b^4c^7;$

б) $3c^3 \cdot (-3b^2c^2)^4;$

в) $(-bc^2)^3 \cdot (-3bc)^5;$

г) $(-3b^2c^2)^3 \cdot (-3b^2c^5)$

тождественно равно одночлену $243b^8c^{11}$. Прав ли он?

Решение.

Решение 2.

Чтобы проверить, прав ли ученик, необходимо упростить каждое из предложенных выражений и сравнить результат с одночленом $243b^8c^{11}$.

а) $(-3bc)^4 \cdot 3b^4c^7$

Сначала возведем в степень первый множитель, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$(-3bc)^4 = (-3)^4 \cdot b^4 \cdot c^4 = 81b^4c^4$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$81b^4c^4 \cdot 3b^4c^7 = (81 \cdot 3) \cdot (b^4 \cdot b^4) \cdot (c^4 \cdot c^7) = 243 \cdot b^{4+4} \cdot c^{4+7} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$

б) $3c^3 \cdot (-3b^2c^2)^4$

Возведем в степень второй множитель, используя свойства степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(-3b^2c^2)^4 = (-3)^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^2)^4 = 81 \cdot b^{2 \cdot 4} \cdot c^{2 \cdot 4} = 81b^8c^8$

Теперь умножим первый множитель на полученный результат:

$3c^3 \cdot 81b^8c^8 = (3 \cdot 81) \cdot b^8 \cdot (c^3 \cdot c^8) = 243 \cdot b^8 \cdot c^{3+8} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$

в) $(-bc^2)^3 \cdot (-3bc)^5$

Упростим каждый множитель по отдельности:

$(-bc^2)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 \cdot (c^2)^3 = -1 \cdot b^3 \cdot c^{2 \cdot 3} = -b^3c^6$

$(-3bc)^5 = (-3)^5 \cdot b^5 \cdot c^5 = -243b^5c^5$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(-b^3c^6) \cdot (-243b^5c^5) = (-1 \cdot -243) \cdot (b^3 \cdot b^5) \cdot (c^6 \cdot c^5) = 243 \cdot b^{3+5} \cdot c^{6+5} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$

г) $(-3b^2c^2)^3 \cdot (-3b^2c^5)$

Упростим первый множитель:

$(-3b^2c^2)^3 = (-3)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^2)^3 = -27 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{2 \cdot 3} = -27b^6c^6$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$(-27b^6c^6) \cdot (-3b^2c^5) = (-27 \cdot -3) \cdot (b^6 \cdot b^2) \cdot (c^6 \cdot c^5) = 81 \cdot b^{6+2} \cdot c^{6+5} = 81b^8c^{11}$

Результат $81b^8c^{11}$ не совпадает с одночленом $243b^8c^{11}$.

Ответ: $81b^8c^{11}$

Поскольку выражение в пункте г) не равно $243b^8c^{11}$, то вывод ученика о том, что каждое из выражений тождественно равно этому одночлену, является неверным.

Ответ: Ученик не прав.