Номер 13, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень - номер 13, страница 87.

Условие.

13. Представьте каким-либо способом одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения двух множителей, один из которых является:

а) квадратом некоторого одночлена с переменными $a$ и $b$;

б) кубом некоторого одночлена с переменными $a$ и $b$.

Решение.

Решение 2.

а) квадратом некоторого одночлена с переменными а и b;

Чтобы представить одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения двух множителей, один из которых является квадратом некоторого одночлена, нам нужно выделить из исходного одночлена множитель, который можно представить в виде $(N)^2$.

Рассмотрим каждый компонент одночлена $75a^9b^8$:

1. Числовой коэффициент 75. Разложим его на множители так, чтобы выделить полный квадрат. $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.

2. Переменную $a$ в степени 9. Чтобы выделить квадрат, нам нужна четная степень. Наибольшая четная степень, не превосходящая 9, это 8. Представим $a^9$ как $a^8 \cdot a$. В свою очередь, $a^8 = (a^4)^2$.

3. Переменную $b$ в степени 8. Степень 8 уже является четной, поэтому мы можем представить $b^8$ как $(b^4)^2$.

Теперь сгруппируем все части, которые являются полными квадратами, в один множитель:$5^2 \cdot a^8 \cdot b^8 = 5^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^4)^2 = (5a^4b^4)^2$.

Оставшиеся части образуют второй множитель: $3 \cdot a = 3a$.

Таким образом, мы можем записать исходный одночлен в виде произведения:$75a^9b^8 = (5^2 \cdot a^8 \cdot b^8) \cdot (3 \cdot a) = (5a^4b^4)^2 \cdot 3a$.

Ответ: $75a^9b^8 = (5a^4b^4)^2 \cdot 3a$.

б) кубом некоторого одночлена с переменными а и b.

Аналогично, чтобы представить одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения, где один из множителей является кубом, нам нужно выделить из исходного одночлена множитель вида $(N)^3$.

Рассмотрим каждый компонент одночлена $75a^9b^8$:

1. Числовой коэффициент 75. Разложим его на простые множители: $75 = 3 \cdot 5^2$. Среди множителей нет кубов целых чисел, кроме 1.

2. Переменную $a$ в степени 9. Степень 9 кратна 3, поэтому мы можем представить $a^9$ как $(a^3)^3$.

3. Переменную $b$ в степени 8. Чтобы выделить куб, нам нужна степень, кратная 3. Наибольшая такая степень, не превосходящая 8, это 6. Представим $b^8$ как $b^6 \cdot b^2$. В свою очередь, $b^6 = (b^2)^3$.

Теперь сгруппируем все части, которые являются полными кубами, в один множитель:$a^9 \cdot b^6 = (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = (a^3b^2)^3$.

Оставшиеся части образуют второй множитель: $75 \cdot b^2 = 75b^2$.

Таким образом, мы можем записать исходный одночлен в виде произведения:$75a^9b^8 = (a^9 \cdot b^6) \cdot (75 \cdot b^2) = (a^3b^2)^3 \cdot 75b^2$.

Ответ: $75a^9b^8 = (a^3b^2)^3 \cdot 75b^2$.