Номер 17, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень - номер 17, страница 88.

Условие.

17. Упростите выражение:

а) $15a^m b^2 \cdot (-a^3b)^4 = $

б) $-a^6 b^{2n} \cdot (-a^8b^n)^2 = $

в) $-a^9 b^{2n+4} \cdot (-a^2b^3)^n = $

г) $a^n b^9 \cdot (-a^n b^6)^6 = $

Решение.

Решение 2.

а) Для упрощения выражения $15a^m b^2 \cdot (-a^3 b)^4$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала возведем второй множитель в четвертую степень. Так как степень четная (4), знак минус исчезнет. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^p)^q = x^{pq}$.

$(-a^3 b)^4 = (-1)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 = 1 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^4 = a^{12}b^4$.

Теперь умножим результат на первый множитель. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$.

$15a^m b^2 \cdot a^{12}b^4 = 15 \cdot (a^m \cdot a^{12}) \cdot (b^2 \cdot b^4) = 15a^{m+12}b^{2+4} = 15a^{m+12}b^6$.

Ответ: $15a^{m+12}b^6$

б) Упростим выражение $-a^6 b^{2n} \cdot (-a^8 b^n)^2$. Сначала возведем в квадрат второй множитель. Так как степень четная (2), знак минус исчезнет.

$(-a^8 b^n)^2 = (-1)^2 \cdot (a^8)^2 \cdot (b^n)^2 = 1 \cdot a^{8 \cdot 2} \cdot b^{n \cdot 2} = a^{16}b^{2n}$.

Теперь умножим первый множитель на полученное выражение:

$-a^6 b^{2n} \cdot a^{16}b^{2n} = - (a^6 \cdot a^{16}) \cdot (b^{2n} \cdot b^{2n}) = -a^{6+16}b^{2n+2n} = -a^{22}b^{4n}$.

Ответ: $-a^{22}b^{4n}$

в) Упростим выражение $-a^9 b^{2n+4} \cdot (-a^2 b^3)^n$. Возведем второй множитель в степень $n$.

$(-a^2 b^3)^n = (-1)^n \cdot (a^2)^n \cdot (b^3)^n = (-1)^n a^{2n}b^{3n}$.

Знак результата зависит от четности $n$, поэтому множитель $(-1)^n$ сохраняется. Теперь выполним умножение:

$-a^9 b^{2n+4} \cdot ((-1)^n a^{2n}b^{3n}) = -1 \cdot (-1)^n \cdot (a^9 \cdot a^{2n}) \cdot (b^{2n+4} \cdot b^{3n}) = (-1)^{1+n} a^{9+2n} b^{(2n+4)+3n} = (-1)^{n+1} a^{2n+9} b^{5n+4}$.

Ответ: $(-1)^{n+1} a^{2n+9} b^{5n+4}$

г) Упростим выражение $a^n b^9 \cdot (-a^n b^6)^6$. Возведем второй множитель в шестую степень. Так как степень четная (6), знак минус исчезнет.

$(-a^n b^6)^6 = (-1)^6 \cdot (a^n)^6 \cdot (b^6)^6 = 1 \cdot a^{n \cdot 6} \cdot b^{6 \cdot 6} = a^{6n}b^{36}$.

Теперь умножим первый множитель на полученное выражение:

$a^n b^9 \cdot a^{6n}b^{36} = (a^n \cdot a^{6n}) \cdot (b^9 \cdot b^{36}) = a^{n+6n}b^{9+36} = a^{7n}b^{45}$.

Ответ: $a^{7n}b^{45}$