Номер 15, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень - номер 15, страница 87.

Условие.

15. Преобразуйте выражение:

$5a^mb \cdot (-3a^3b)^4 = 5a^mb \cdot 81a^{12}b^4 = 405a^{m+12}b^5$

а) $-ab^{2n}(-a^3b^4)^2=$

б) $-a^4b^{2n+1}(-ab^2)^n=$

в) $a^{n+2}b^3(-ab^4)^6=$

Решение.

Решение 2.

а)

Для преобразования выражения $-ab^{2n}(-a^3b^4)^2$ воспользуемся свойствами степеней.

1. Возведем в квадрат выражение в скобках: $(-a^3b^4)^2$.

Так как степень четная (2), знак минус при возведении в степень исчезает. При возведении степени в степень показатели перемножаются по формуле $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(-a^3b^4)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 1 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = a^6b^8$.

2. Теперь умножим полученное выражение на первый множитель: $-ab^{2n} \cdot a^6b^8$.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются по формуле $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$-ab^{2n} \cdot a^6b^8 = - (a^1 \cdot a^6) \cdot (b^{2n} \cdot b^8) = -a^{1+6}b^{2n+8} = -a^7b^{2n+8}$.

Ответ: $-a^7b^{2n+8}$

б)

Преобразуем выражение $-a^4b^{2n+1}(-ab^2)^n$.

1. Возведем в степень $n$ выражение в скобках: $(-ab^2)^n$.

Используем свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$(-ab^2)^n = (-1)^n \cdot a^n \cdot (b^2)^n = (-1)^n a^n b^{2n}$.

2. Умножим результат на первый множитель: $-a^4b^{2n+1} \cdot ((-1)^n a^n b^{2n})$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$-1 \cdot (-1)^n \cdot (a^4 \cdot a^n) \cdot (b^{2n+1} \cdot b^{2n})$

Применяем свойства степеней:

$(-1)^{1+n} \cdot a^{4+n} \cdot b^{(2n+1)+2n} = (-1)^{n+1}a^{n+4}b^{4n+1}$.

Ответ: $(-1)^{n+1}a^{n+4}b^{4n+1}$

в)

Преобразуем выражение $a^{n+2}b^3(-ab^4)^6$.

1. Возведем в шестую степень выражение в скобках: $(-ab^4)^6$.

Так как степень четная (6), знак минус при возведении в степень исчезает:

$(-ab^4)^6 = (-1)^6 \cdot a^6 \cdot (b^4)^6 = 1 \cdot a^6 \cdot b^{4 \cdot 6} = a^6b^{24}$.

2. Умножим результат на первый множитель: $a^{n+2}b^3 \cdot a^6b^{24}$.

Сгруппируем множители и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:

$(a^{n+2} \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^{24}) = a^{(n+2)+6} \cdot b^{3+24} = a^{n+8}b^{27}$.

Ответ: $a^{n+8}b^{27}$