Номер 6, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 3. Степень с натуральным показателем. 21.Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики - номер 6, страница 91.

Условие.

6. Пользуясь построенным графиком функции $y=x^3$, ответьте на вопросы.

а) Какие значения принимает переменная $x$?

б) Какие значения принимает переменная $y$?

в) Принимает ли функция наименьшее значение?

г) Принимает ли функция наибольшее значение?

д) Как расположен график относительно начала координат?

Решение.

Решение 2.

Для ответа на вопросы проанализируем свойства функции $y=x^3$ и её график, который называется кубической параболой.

а) Какие значения принимает переменная x?
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $y=x^3$ является многочленом, и для неё нет никаких ограничений на значение $x$. Аргумент $x$ может быть любым действительным числом, так как для любого числа $x$ можно вычислить его куб. На графике это отражается тем, что он неограниченно продолжается влево и вправо вдоль оси абсцисс (Ox).
Ответ: переменная $x$ принимает все действительные значения, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Какие значения принимает переменная y?
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Поскольку $x$ может быть любым действительным числом, то и $y$ может быть любым действительным числом. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y=x^3$ также стремится к $+\infty$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y=x^3$ стремится к $-\infty$. Таким образом, график функции неограниченно простирается вверх и вниз вдоль оси ординат (Oy).
Ответ: переменная $y$ принимает все действительные значения, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

в) Принимает ли функция наименьшее значение?
Наименьшее значение функции — это самое маленькое значение, которое может принять $y$. Как установлено в предыдущем пункте, область значений функции $y=x^3$ — это все действительные числа от $-\infty$ до $+\infty$. Это означает, что не существует одного, самого маленького значения, так как для любого сколь угодно малого значения $y$ всегда можно найти еще меньшее (взяв более отрицательное значение $x$).
Ответ: нет, функция не принимает наименьшее значение.

г) Принимает ли функция наибольшее значение?
Наибольшее значение функции — это самое большое значение, которое может принять $y$. Аналогично предыдущему пункту, так как область значений функции простирается до $+\infty$, не существует одного, самого большого значения. Для любого сколь угодно большого значения $y$ всегда можно найти еще большее (взяв большее положительное значение $x$).
Ответ: нет, функция не принимает наибольшее значение.

д) Как расположен график относительно начала координат?
Для определения положения графика относительно начала координат $(0;0)$ проверим, проходит ли он через эту точку и есть ли у него симметрия.
1. При $x=0$, значение функции $y=0^3=0$. Следовательно, график функции проходит через начало координат.
2. Проверим функцию на нечетность: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Так как $f(-x)=-f(x)$, функция является нечетной. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат. Это означает, что если точка $(a; b)$ принадлежит графику, то и точка $(-a; -b)$ также ему принадлежит. Ветви графика расположены в I и III координатных четвертях.
Ответ: график функции симметричен относительно начала координат.