Номер 14, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 22. Многочлен и его стандартный вид - номер 14, страница 7.

Условие.

14. В многочлене $x^m y^n - xy^2 - x^2 y^4 - xy + 5$ замените показатели степени $m$ и $n$ натуральными числами так, чтобы получился многочлен: а) седьмой степени; б) третьей степени.

Укажите все возможные ответы:

а) $m=1, n=6;$

б)

Решение.

Решение 2.

Степень многочлена определяется наибольшей из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Рассмотрим многочлен: $x^m y^n - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$.

Определим степени его одночленов: степень одночлена $x^m y^n$ равна $m+n$; степень $-xy^2$ равна $1+2=3$; степень $-x^2y^4$ равна $2+4=6$; степень $-xy$ равна $1+1=2$; степень $5$ равна $0$.

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то $m+n \ge 1+1=2$. Степень всего многочлена равна наибольшей из этих степеней, то есть $\max(m+n, 3, 6, 2, 0) = \max(m+n, 6)$.

а)

Чтобы многочлен был седьмой степени, его степень должна быть равна 7. Это означает, что $\max(m+n, 6) = 7$. Это возможно только если $m+n=7$, так как в противном случае максимальная степень была бы равна 6.

Нам нужно найти все пары натуральных чисел $m$ и $n$ (то есть $m \ge 1, n \ge 1$), для которых выполняется равенство $m+n=7$.

Перечислим все возможные пары $(m, n)$:

$(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)$.

Ответ: $m=1, n=6$; $m=2, n=5$; $m=3, n=4$; $m=4, n=3$; $m=5, n=2$; $m=6, n=1$.

б)

Чтобы многочлен был третьей степени, его степень должна быть равна 3. Однако в многочлене присутствует член $-x^2y^4$, степень которого равна 6. Если этот член останется в многочлене, степень всего многочлена будет не меньше 6. Следовательно, для получения многочлена третьей степени необходимо, чтобы член $-x^2y^4$ был уничтожен (сократился).

Это возможно только в том случае, если член $x^m y^n$ будет равен $x^2 y^4$, что приведет к их взаимному уничтожению: $x^m y^n - x^2 y^4 = 0$. Для этого их показатели степеней должны быть соответственно равны: $m=2$ и $n=4$. Оба числа являются натуральными, что соответствует условию задачи.

Подставим эти значения в исходный многочлен:

$x^2y^4 - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5 = -xy^2 - xy + 5$.

Степени оставшихся членов: степень $-xy^2$ равна $1+2=3$; степень $-xy$ равна $1+1=2$; степень $5$ равна $0$. Наибольшая из этих степеней равна 3, следовательно, степень полученного многочлена равна 3. Это единственная возможная пара значений $m$ и $n$.

Ответ: $m=2, n=4$.