Номер 17, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 22. Многочлен и его стандартный вид - номер 17, страница 7.

Условие.

17. Представьте многочлен в стандартном виде и найдите его числовое значение при заданных значениях переменных:

a) $x \cdot 8xy - yx - y \cdot 7x^2 + 5xy^2$ при $x = \frac{1}{2}, y = -2;$

......................

......................

б) $5c^2d - d \cdot 8c^3 + 9c \cdot cd^2 + 4c^3d$ при $c = -1, d = \frac{1}{3}.$

Решение.

Решение 2.

а)

Сначала приведем многочлен $x \cdot 8xy - yx - y \cdot 7x^2 + 5xy^2$ к стандартному виду. Для этого выполним умножение в каждом члене многочлена, чтобы привести его к стандартному виду, а затем приведем подобные слагаемые.

1. Приводим каждый член к стандартному виду:
$x \cdot 8xy = 8 \cdot (x \cdot x) \cdot y = 8x^2y$
$yx = xy$ (располагаем переменные в алфавитном порядке)
$y \cdot 7x^2 = 7x^2y$

После преобразования членов многочлен выглядит так: $8x^2y - xy - 7x^2y + 5xy^2$.

2. Приводим подобные слагаемые. Подобными являются члены $8x^2y$ и $-7x^2y$, так как у них одинаковая буквенная часть $x^2y$.
$8x^2y - 7x^2y = (8-7)x^2y = 1 \cdot x^2y = x^2y$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде: $x^2y - xy + 5xy^2$.

Теперь найдем значение этого многочлена при заданных значениях переменных $x = \frac{1}{2}$ и $y = -2$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$x^2y - xy + 5xy^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (-2) - (\frac{1}{2}) \cdot (-2) + 5 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-2)^2 = $
$= \frac{1}{4} \cdot (-2) - (-\frac{2}{2}) + 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = $
$= -\frac{2}{4} - (-1) + \frac{20}{2} = $
$= -\frac{1}{2} + 1 + 10 = -\frac{1}{2} + 11 = 10,5$.

Ответ: $x^2y - xy + 5xy^2$; $10,5$.

б)

Приведем многочлен $5c^2d - d \cdot 8c^3 + 9c \cdot cd^2 + 4c^3d$ к стандартному виду.

1. Приводим каждый член к стандартному виду:
$d \cdot 8c^3 = 8c^3d$
$9c \cdot cd^2 = 9 \cdot (c \cdot c) \cdot d^2 = 9c^2d^2$

После преобразования многочлен имеет вид: $5c^2d - 8c^3d + 9c^2d^2 + 4c^3d$.

2. Приводим подобные слагаемые. Подобными являются члены $-8c^3d$ и $4c^3d$, так как у них одинаковая буквенная часть $c^3d$.
$-8c^3d + 4c^3d = (-8+4)c^3d = -4c^3d$.

Многочлен в стандартном виде: $5c^2d - 4c^3d + 9c^2d^2$. Для удобства расположим члены по убыванию степени переменной $c$: $-4c^3d + 9c^2d^2 + 5c^2d$.

Теперь найдем значение многочлена при $c = -1$ и $d = \frac{1}{3}$. Подставим значения в выражение:

$-4c^3d + 9c^2d^2 + 5c^2d = -4(-1)^3(\frac{1}{3}) + 9(-1)^2(\frac{1}{3})^2 + 5(-1)^2(\frac{1}{3}) = $
$= -4(-1)(\frac{1}{3}) + 9(1)(\frac{1}{9}) + 5(1)(\frac{1}{3}) = $
$= 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{9} + 5 \cdot \frac{1}{3} = $
$= \frac{4}{3} + 1 + \frac{5}{3} = (\frac{4}{3} + \frac{5}{3}) + 1 = \frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $-4c^3d + 9c^2d^2 + 5c^2d$; $4$.