Номер 14, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 26. Умножение многочлена на многочлен - номер 14, страница 31.

Условие.

14. Докажите, что значение выражения

$(b-2)(b^2-3b+6)-(5-b)(2+b-b^2)-b(b+9)$

не зависит от значения переменной $b$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $b$, необходимо его упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную $b$, сократятся и останется только постоянное число (константа), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $(b - 2)(b^2 - 3b + 6) - (5 - b)(2 + b - b^2) - b(b + 9)$.

Упростим его, последовательно раскрывая скобки.

Сначала раскроем первое произведение многочленов:

$(b - 2)(b^2 - 3b + 6) = b \cdot (b^2 - 3b + 6) - 2 \cdot (b^2 - 3b + 6) = b^3 - 3b^2 + 6b - 2b^2 + 6b - 12$.

Приведем подобные слагаемые: $b^3 - (3b^2 + 2b^2) + (6b + 6b) - 12 = b^3 - 5b^2 + 12b - 12$.

Теперь раскроем второе произведение многочленов:

$(5 - b)(2 + b - b^2) = 5 \cdot (2 + b - b^2) - b \cdot (2 + b - b^2) = 10 + 5b - 5b^2 - 2b - b^2 + b^3$.

Приведем подобные слагаемые: $b^3 + (-5b^2 - b^2) + (5b - 2b) + 10 = b^3 - 6b^2 + 3b + 10$.

Раскроем скобки в последнем слагаемом:

$b(b + 9) = b^2 + 9b$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(b^3 - 5b^2 + 12b - 12) - (b^3 - 6b^2 + 3b + 10) - (b^2 + 9b)$.

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$b^3 - 5b^2 + 12b - 12 - b^3 + 6b^2 - 3b - 10 - b^2 - 9b$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (-5b^2 + 6b^2 - b^2) + (12b - 3b - 9b) + (-12 - 10)$.

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 + (b^2 - b^2) + (9b - 9b) - 22 = 0 + 0 + 0 - 22 = -22$.

В результате упрощения получилось число $-22$. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $b$, мы доказали, что значение выражения не зависит от значения переменной $b$.

Ответ: значение выражения равно -22 при любом значении $b$, что и требовалось доказать.