Номер 16, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 26. Умножение многочлена на многочлен - номер 16, страница 32.

Условие.

16. Докажите, что при любом значении $a$:

а) значение выражения $(a-5)(a+12)-(a+3)(a+4)$ кратно 24;

б) значение выражения $(3+a^2)(5-a)-(7-a^2)(a-6)+a(a+10)$ кратно 19.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения кратно 24, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(a-5)(a+12) - (a+3)(a+4) = (a \cdot a + 12a - 5a - 5 \cdot 12) - (a \cdot a + 4a + 3a + 3 \cdot 4)$
$= (a^2 + 7a - 60) - (a^2 + 7a + 12)$
Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$= a^2 + 7a - 60 - a^2 - 7a - 12$
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$= (a^2 - a^2) + (7a - 7a) + (-60 - 12) = 0 + 0 - 72 = -72$
В результате упрощения мы получили число $-72$, которое не зависит от значения переменной $a$.
Проверим, делится ли $-72$ на $24$:
$-72 \div 24 = -3$
Так как в результате деления получается целое число, то значение исходного выражения всегда кратно $24$.
Ответ: доказано.

б) Упростим данное выражение, последовательно раскрыв все скобки.
$(3+a^2)(5-a) - (7-a^2)(a-6) + a(a+10)$
Раскроем первую пару скобок:
$(3+a^2)(5-a) = 15 - 3a + 5a^2 - a^3$
Раскроем вторую пару скобок:
$(7-a^2)(a-6) = 7a - 42 - a^3 + 6a^2$
Раскроем третьи скобки:
$a(a+10) = a^2 + 10a$
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$= (15 - 3a + 5a^2 - a^3) - (7a - 42 - a^3 + 6a^2) + (a^2 + 10a)$
Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:
$= 15 - 3a + 5a^2 - a^3 - 7a + 42 + a^3 - 6a^2 + a^2 + 10a$
Сгруппируем подобные слагаемые по степеням переменной $a$:
$= (-a^3 + a^3) + (5a^2 - 6a^2 + a^2) + (-3a - 7a + 10a) + (15 + 42)$
$= 0 \cdot a^3 + 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a + 57 = 57$
Значение выражения не зависит от $a$ и равно $57$.
Проверим, делится ли $57$ на $19$:
$57 \div 19 = 3$
Так как в результате деления получается целое число, то значение исходного выражения всегда кратно $19$.
Ответ: доказано.