Номер 10, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 26. Умножение многочлена на многочлен - номер 10, страница 30.

Условие.

10. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения является чётным числом при любом натуральном $n$, мы упростим данное выражение.

Исходное выражение: $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$.

Сначала раскроем скобки в каждом произведении, используя правило умножения многочленов:

$(n-3)(n+5) = n \cdot n + 5 \cdot n - 3 \cdot n - 3 \cdot 5 = n^2 + 2n - 15$.

$(n+1)(n-9) = n \cdot n - 9 \cdot n + 1 \cdot n - 1 \cdot 9 = n^2 - 8n - 9$.

Теперь подставим полученные многочлены обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 + 2n - 15) - (n^2 - 8n - 9) = n^2 + 2n - 15 - n^2 + 8n + 9$.

Приведём подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (2n + 8n) + (-15 + 9) = 0 + 10n - 6 = 10n - 6$.

Мы упростили выражение до $10n - 6$. Теперь докажем, что это число является чётным для любого натурального $n$. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Чтобы показать это, вынесем общий множитель 2 за скобки:

$10n - 6 = 2 \cdot 5n - 2 \cdot 3 = 2(5n - 3)$.

По условию, $n$ — натуральное число. Следовательно, $5n$ — также натуральное число (или целое), и разность $5n-3$ является целым числом.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $2 \cdot k$, где $k = 5n - 3$ и является целым числом. Произведение любого целого числа на 2 по определению является чётным числом.

Следовательно, значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ всегда является чётным числом при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ принимает вид $10n-6$. Это выражение можно представить как $2(5n-3)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $5n-3$ — целое число. Произведение двойки на любое целое число всегда является чётным числом.