Номер 3, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 26. Умножение многочлена на многочлен - номер 3, страница 27.

Условие.

3. Не выполняя умножения многочленов, заполните пропуски.

Произведение многочленов $4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ и $3x^2y - 2xy^3 + 1$

является многочленом .................... степени, содержащим .................... одночленов.

Решение.

Решение 2.

Определение степени итогового многочлена
Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена с несколькими переменными — это сумма показателей степеней всех его переменных.
Сначала найдем степень первого многочлена $P_1 = 4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$. Его одночлены имеют степени: $3$ (у $4x^3$), $2+4=6$ (у $-8x^2y^4$), $5$ (у $y^5$) и $0$ (у $1$). Наибольшая из этих степеней равна 6. Значит, степень многочлена $P_1$ равна 6.
Теперь найдем степень второго многочлена $P_2 = 3x^2y - 2xy^3 + 1$. Его одночлены имеют степени: $2+1=3$ (у $3x^2y$), $1+3=4$ (у $-2xy^3$) и $0$ (у $1$). Наибольшая из этих степеней равна 4. Значит, степень многочлена $P_2$ равна 4.
Степень произведения двух многочленов равна сумме их степеней. Это справедливо, так как член с наивысшей степенью в произведении получается при умножении членов с наивысшими степенями из исходных многочленов, и в данном случае они не сокращаются.
Степень итогового многочлена равна $6 + 4 = 10$.
Ответ: 10.

Определение количества одночленов в итоговом многочлене
Чтобы найти количество одночленов в произведении, нужно перемножить количество одночленов в каждом из многочленов-сомножителей, а затем проверить, не появятся ли подобные слагаемые, которые можно будет привести.
В первом многочлене $4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ содержится 4 одночлена.
Во втором многочлене $3x^2y - 2xy^3 + 1$ содержится 3 одночлена.
При их перемножении получится $4 \times 3 = 12$ одночленов (до приведения подобных).
Подобные слагаемые — это одночлены с одинаковой буквенной частью, то есть с одинаковыми показателями степеней у переменных. Проверим, будут ли в произведении одночлены с одинаковыми степенями у $x$ и $y$. Для этого представим каждый одночлен парой его степеней $(a, b)$ для $x^ay^b$ и посмотрим на суммы этих пар.
Степени одночленов в $P_1$: $(3,0)$, $(2,4)$, $(0,5)$, $(0,0)$.
Степени одночленов в $P_2$: $(2,1)$, $(1,3)$, $(0,0)$.
Степени одночленов в произведении будут суммами пар, по одной из каждого многочлена:
$(3,0)+(2,1)=(5,1)$;
$(3,0)+(1,3)=(4,3)$;
$(3,0)+(0,0)=(3,0)$;
$(2,4)+(2,1)=(4,5)$;
$(2,4)+(1,3)=(3,7)$;
$(2,4)+(0,0)=(2,4)$;
$(0,5)+(2,1)=(2,6)$;
$(0,5)+(1,3)=(1,8)$;
$(0,5)+(0,0)=(0,5)$;
$(0,0)+(2,1)=(2,1)$;
$(0,0)+(1,3)=(1,3)$;
$(0,0)+(0,0)=(0,0)$.
Все 12 полученных пар степеней различны. Это означает, что подобных слагаемых в итоговом многочлене не будет.
Следовательно, многочлен-произведение будет содержать 12 одночленов.
Ответ: 12.

Заполним пропуски в исходном предложении:
Произведение многочленов $4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ и $3x^2y - 2xy^3 + 1$ является многочленом 10 степени, содержащим 12 одночленов.