Номер 16, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 25. Вынесение общего множителя за скобки - номер 16, страница 25.

Условие.

16. Докажите, что разность четырёхзначных чисел $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$ кратна 9.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства представим четырехзначные числа $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. Здесь $a, b, c, d$ — это цифры, причем $a \neq 0$ и $d \neq 0$, так как числа четырехзначные.

Запись $\overline{abcd}$ означает число, равное:
$1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot c + d$

Аналогично, запись $\overline{dcba}$ означает число, равное:
$1000 \cdot d + 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих двух чисел:
$\overline{abcd} - \overline{dcba} = (1000a + 100b + 10c + d) - (1000d + 100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1000a + 100b + 10c + d - 1000d - 100c - 10b - a = (1000a - a) + (100b - 10b) + (10c - 100c) + (d - 1000d)$

Упростим полученное выражение:
$999a + 90b - 90c - 999d$

Чтобы доказать, что это выражение кратно 9, вынесем 9 за скобки:
$9 \cdot (111a + 10b - 10c - 111d)$

Так как $a, b, c, d$ — это целые числа (цифры), то и выражение в скобках $(111a + 10b - 10c - 111d)$ также является целым числом.

Таким образом, разность чисел $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$ всегда является произведением числа 9 и некоторого целого числа, а значит, она всегда кратна 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.