Номер 9, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 25. Вынесение общего множителя за скобки - номер 9, страница 23.

Условие.

9. Докажите, что:

а) $5^7 - 5^6 + 5^5$ делится на 21;

....................

б) $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ делится на 15.

Решение.

Решение 2.

a)

Чтобы доказать, что выражение $5^7 - 5^6 + 5^5$ делится на 21, необходимо преобразовать его, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $5^5$.

$5^7 - 5^6 + 5^5 = 5^5 \cdot 5^2 - 5^5 \cdot 5^1 + 5^5 \cdot 1 = 5^5(5^2 - 5 + 1)$

Теперь вычислим значение выражения, получившегося в скобках:

$5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$5^7 - 5^6 + 5^5 = 5^5 \cdot 21$

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 21, то и все произведение делится на 21.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что выражение $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ делится на 15, поступим аналогично: вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{15}$.

$2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15} = 2^{15} \cdot 2^3 + 2^{15} \cdot 2^2 + 2^{15} \cdot 2^1 + 2^{15} \cdot 1 = 2^{15}(2^3 + 2^2 + 2 + 1)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15} = 2^{15} \cdot 15$

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 15, то и все произведение делится на 15.

Ответ: Что и требовалось доказать.