Номер 14, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 25. Вынесение общего множителя за скобки - номер 14, страница 25.

Условие.

14. Разложите на множители:

а) $(m - 3n)(2m + 5n) - (3n - m)(m + 4) =$

б) $(4b - y)(3b + 2y) + (b - 6y)(y - 4b) =$

Решение.

Решение 2.

а) $(m - 3n)(2m + 5n) - (3n - m)(m + 4)$

Для разложения на множители данного выражения заметим, что множители $(m - 3n)$ и $(3n - m)$ отличаются только знаком. Преобразуем второй множитель, вынеся за скобку $-1$:

$(3n - m) = -1 \cdot (m - 3n) = -(m - 3n)$

Подставим это преобразование в исходное выражение:

$(m - 3n)(2m + 5n) - (-(m - 3n))(m + 4) = (m - 3n)(2m + 5n) + (m - 3n)(m + 4)$

Теперь мы видим общий множитель $(m - 3n)$, который можно вынести за скобки, используя распределительный закон:

$(m - 3n) \cdot ((2m + 5n) + (m + 4))$

Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:

$(2m + 5n) + (m + 4) = 2m + 5n + m + 4 = (2m+m) + 5n + 4 = 3m + 5n + 4$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(m - 3n)(3m + 5n + 4)$

Ответ: $(m - 3n)(3m + 5n + 4)$

б) $(4b - y)(3b + 2y) + (b - 6y)(y - 4b)$

В этом выражении также можно найти множители, отличающиеся знаком: $(4b - y)$ и $(y - 4b)$. Преобразуем второй из них, вынеся за скобку $-1$:

$(y - 4b) = -1 \cdot (-y + 4b) = -(4b - y)$

Подставим преобразованный множитель в исходное выражение:

$(4b - y)(3b + 2y) + (b - 6y)(-(4b - y)) = (4b - y)(3b + 2y) - (b - 6y)(4b - y)$

Вынесем общий множитель $(4b - y)$ за скобки:

$(4b - y) \cdot ((3b + 2y) - (b - 6y))$

Раскроем скобки во втором множителе и упростим его. Важно правильно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус (знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные):

$(3b + 2y) - (b - 6y) = 3b + 2y - b + 6y = (3b - b) + (2y + 6y) = 2b + 8y$

Получаем выражение:

$(4b - y)(2b + 8y)$

Заметим, что во втором множителе $(2b + 8y)$ можно вынести за скобки общий числовой множитель $2$:

$2b + 8y = 2(b + 4y)$

Окончательный вид разложения на множители (числовой множитель принято ставить в начале):

$2(4b - y)(b + 4y)$

Ответ: $2(4b - y)(b + 4y)$