Номер 11, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 25. Вынесение общего множителя за скобки - номер 11, страница 24.

Условие.

11. Вынесите общий множитель за скобки ($n$ — натуральное число):

а) $a^{3n} - 3a^n = $

б) $x^{2n+1}y + x^{2n-1}y = $

в) $c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $a^{3n} - 3a^n$, необходимо найти наибольший общий делитель для одночленов $a^{3n}$ и $3a^n$. Общим для них является множитель $a$ в наименьшей степени. Сравним показатели степеней: $3n$ и $n$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \geq 1$), то $n \le 3n$. Следовательно, наименьшая степень — это $n$. Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки, это $a^n$.
Разделим каждый член выражения на $a^n$:
Первый член: $\frac{a^{3n}}{a^n} = a^{3n-n} = a^{2n}$
Второй член: $\frac{-3a^n}{a^n} = -3$
Запишем выражение, вынеся общий множитель за скобки: $a^n(a^{2n} - 3)$.
Ответ: $a^n(a^{2n} - 3)$

б) В выражении $x^{2n+1}y + x^{2n-1}y$ общими множителями являются переменные $x$ и $y$. Переменная $y$ входит в оба слагаемых в первой степени, поэтому ее можно вынести за скобки. Для переменной $x$ нужно выбрать множитель с наименьшим показателем степени. Сравним показатели $2n+1$ и $2n-1$. Так как $n$ — натуральное число, $2n-1 < 2n+1$. Значит, за скобки выносим $x^{2n-1}$.
Общий множитель для всего выражения — это $x^{2n-1}y$.
Разделим каждый член на общий множитель:
Первый член: $\frac{x^{2n+1}y}{x^{2n-1}y} = x^{(2n+1)-(2n-1)} = x^{2n+1-2n+1} = x^2$
Второй член: $\frac{x^{2n-1}y}{x^{2n-1}y} = 1$
В результате получаем: $x^{2n-1}y(x^2 + 1)$.
Ответ: $x^{2n-1}y(x^2 + 1)$

в) В выражении $c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1}$ все три члена содержат переменную $c$. Чтобы вынести общий множитель, нужно найти наименьший показатель степени у переменной $c$. Сравним показатели: $3n+4$, $3n+2$ и $3n+1$. Так как $n$ — натуральное число, наименьшим показателем будет $3n+1$. Следовательно, общий множитель — это $c^{3n+1}$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член многочлена на $c^{3n+1}$:
Первый член: $\frac{c^{3n+4}}{c^{3n+1}} = c^{(3n+4)-(3n+1)} = c^{3n+4-3n-1} = c^3$
Второй член: $\frac{-c^{3n+2}}{c^{3n+1}} = -c^{(3n+2)-(3n+1)} = -c^{3n+2-3n-1} = -c^1 = -c$
Третий член: $\frac{c^{3n+1}}{c^{3n+1}} = 1$
Запишем итоговое выражение: $c^{3n+1}(c^3 - c + 1)$.
Ответ: $c^{3n+1}(c^3 - c + 1)$