Номер 12, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 25. Вынесение общего множителя за скобки - номер 12, страница 24.

Условие.

12. Докажите, что при любом натуральном n:

а) значение выражения $6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n$ кратно 31;

б) значение выражения $9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3}$ кратно 71.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n$ кратно 31 при любом натуральном $n$, преобразуем его, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $6^n$:
$6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n = 6^n \cdot 6^2 - 6^n \cdot 6^1 + 6^n \cdot 1 = 6^n(6^2 - 6 + 1)$.
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$6^2 - 6 + 1 = 36 - 6 + 1 = 31$.
Таким образом, исходное выражение равно $6^n \cdot 31$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $6^n$ является целым числом. Произведение целого числа $6^n$ на 31 всегда делится на 31 без остатка, то есть кратно 31.
Ответ: Выражение равно $31 \cdot 6^n$, что доказывает его кратность 31.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3}$ кратно 71, преобразуем его. Следует отметить, что для того, чтобы значение выражения было целым числом, необходимо, чтобы все показатели степени были неотрицательными. Наименьший показатель в данном выражении — это $2n-3$. Условие $2n-3 \ge 0$ выполняется для натуральных $n \ge 2$. При $n=1$ выражение не является целым числом ($9-1-1/9 = 71/9$), поэтому докажем утверждение для всех натуральных $n \ge 2$.
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $9^{2n-3}$:
$9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3} = 9^{2n-3} \cdot 9^2 - 9^{2n-3} \cdot 9^1 - 9^{2n-3} \cdot 1 = 9^{2n-3}(9^2 - 9 - 1)$.
Вычислим значение выражения в скобках:
$9^2 - 9 - 1 = 81 - 9 - 1 = 71$.
Таким образом, исходное выражение равно $9^{2n-3} \cdot 71$.
При любом натуральном $n \ge 2$ показатель степени $2n-3$ является натуральным числом, а значит $9^{2n-3}$ — целое число. Произведение целого числа $9^{2n-3}$ на 71 всегда кратно 71.
Ответ: Для натуральных $n \ge 2$ выражение равно $71 \cdot 9^{2n-3}$, что доказывает его кратность 71.