Номер 7, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 25. Вынесение общего множителя за скобки - номер 7, страница 22.

Условие.

7. Вынесите за скобки общий множитель и сделайте проверку:

а) $14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 = $

б) $8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) $14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов многочлена.

1. Находим НОД для числовых коэффициентов: 14, 21 и 70.

Разложим числа на простые множители:$14 = 2 \cdot 7$$21 = 3 \cdot 7$$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

Общий множитель для этих чисел - это 7. Следовательно, НОД(14, 21, 70) = 7.

2. Находим общий множитель для переменных.

Переменная $x$ присутствует во всех членах многочлена. Выбираем наименьшую степень, в которой она встречается: $x^2$.Переменная $y$ есть только во втором члене, поэтому ее нельзя вынести за скобки как общий множитель.

3. Определяем общий множитель всего выражения.

Общий множитель равен произведению НОД коэффициентов и общих переменных в наименьшей степени: $7x^2$.

4. Выносим общий множитель за скобки.

Для этого делим каждый член исходного многочлена на $7x^2$:

$\frac{14x^3}{7x^2} = 2x$

$\frac{-21x^2y^2}{7x^2} = -3y^2$

$\frac{70x^4}{7x^2} = 10x^2$

Результат записываем в виде произведения общего множителя на многочлен, полученный в скобках:

$7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2)$

Проверка:

Раскроем скобки, умножив общий множитель на каждый член в скобках:

$7x^2 \cdot (2x - 3y^2 + 10x^2) = (7x^2 \cdot 2x) - (7x^2 \cdot 3y^2) + (7x^2 \cdot 10x^2) = 14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4$

Полученное выражение совпадает с исходным, значит, разложение выполнено верно.

Ответ: $7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2)$

б) $8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3$

1. Находим НОД для числовых коэффициентов: 8, 12 и 16.

Разложим числа на простые множители:$8 = 2^3$$12 = 2^2 \cdot 3$$16 = 2^4$

Общий множитель - $2^2$. Следовательно, НОД(8, 12, 16) = 4.

2. Находим общий множитель для переменных.

Переменная $a$ присутствует во всех членах. Наименьшая степень - $a^2$.Переменная $b$ присутствует во всех членах. Наименьшая степень - $b^2$.

3. Определяем общий множитель всего выражения.

Общий множитель равен $4a^2b^2$.

4. Выносим общий множитель за скобки.

Делим каждый член исходного многочлена на $4a^2b^2$:

$\frac{8a^3b^4}{4a^2b^2} = 2ab^2$

$\frac{12a^2b^2}{4a^2b^2} = 3$

$\frac{-16a^4b^3}{4a^2b^2} = -4a^2b$

Записываем результат:

$4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b)$

Проверка:

Раскроем скобки:

$4a^2b^2 \cdot (2ab^2 + 3 - 4a^2b) = (4a^2b^2 \cdot 2ab^2) + (4a^2b^2 \cdot 3) - (4a^2b^2 \cdot 4a^2b) = 8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3$

Результат совпадает с исходным выражением, значит, разложение выполнено верно.

Ответ: $4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b)$