Номер 7, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 27. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 7, страница 35.

Условие.

7. Разложите многочлен на множители:

a) $x^3 + x^2 + x + 1 = $

б) $2 - 5y + 2y^2 - 5y^3 = $

в) $4z - 3 - 3z^2 + 4z^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения данного многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем попарно члены многочлена:

$(x^3 + x^2) + (x + 1)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

В первой группе общий множитель – это $x^2$: $x^2(x + 1)$.

Во второй группе общий множитель – это $1$: $1(x + 1)$.

Получаем выражение:

$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(x + 1)(x^2 + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$

б) $2 - 5y + 2y^2 - 5y^3$

Для разложения этого многочлена на множители также применим метод группировки. Сгруппируем члены с одинаковыми числовыми коэффициентами (по модулю):

$(2 + 2y^2) + (-5y - 5y^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

Из первой группы выносим $2$: $2(1 + y^2)$.

Из второй группы выносим $-5y$: $-5y(1 + y^2)$.

В результате получаем:

$2(1 + y^2) - 5y(1 + y^2)$

Общий множитель $(1 + y^2)$ выносим за скобки:

$(1 + y^2)(2 - 5y)$

Ответ: $(2 - 5y)(y^2 + 1)$

в) $4z - 3 - 3z^2 + 4z^3$

Перегруппируем члены многочлена для удобства и применим метод группировки:

$(4z^3 + 4z) + (-3z^2 - 3)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

В первой группе общий множитель – $4z$: $4z(z^2 + 1)$.

Во второй группе общий множитель – $-3$: $-3(z^2 + 1)$.

Получаем выражение:

$4z(z^2 + 1) - 3(z^2 + 1)$

Теперь выносим общий множитель $(z^2 + 1)$ за скобки:

$(z^2 + 1)(4z - 3)$

Ответ: $(4z - 3)(z^2 + 1)$