Номер 11, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 27. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 11, страница 36.

Условие.

11. Представьте многочлен в виде произведения:

$5^n + 5^{n+2} - 3^{n+3} + 3^n =$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы представить многочлен в виде произведения, сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней и вынесем общий множитель за скобки.

Исходное выражение: $5^n + 5^{n+2} - 3^{n+3} + 3^n$.

Сгруппируем слагаемые: $(5^n + 5^{n+2}) + (3^n - 3^{n+3})$.

Рассмотрим первую группу $(5^n + 5^{n+2})$. Используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, получим $5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2$. Вынесем общий множитель $5^n$ за скобки:

$5^n + 5^n \cdot 5^2 = 5^n(1 + 5^2) = 5^n(1 + 25) = 26 \cdot 5^n$.

Рассмотрим вторую группу $(3^n - 3^{n+3})$. Используя то же свойство степени, получим $3^{n+3} = 3^n \cdot 3^3$. Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:

$3^n - 3^n \cdot 3^3 = 3^n(1 - 3^3) = 3^n(1 - 27) = 3^n(-26) = -26 \cdot 3^n$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в сгруппированное выражение:

$26 \cdot 5^n - 26 \cdot 3^n$.

Вынесем общий числовой множитель 26 за скобки:

$26(5^n - 3^n)$.

Ответ: $26(5^n - 3^n)$