Номер 9, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 4. Многочлены. 27. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 9, страница 36.

Условие.

9. Докажите, что если a и b — целые числа, разность которых кратна 11, то значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ также кратно 11.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, числа $a$ и $b$ — целые, и их разность кратна 11. Это можно записать в виде равенства:

$a - b = 11k$, где $k$ — некоторое целое число.

Теперь рассмотрим данный многочлен $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$. Чтобы доказать, что его значение кратно 11, преобразуем его, разложив на множители. Для этого сгруппируем слагаемые:

$6a^2 - 5a - 6ab + 5b = (6a^2 - 6ab) + (-5a + 5b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$6a(a - b) - 5(a - b)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a - b)$, который можно вынести за скобку:

$(a - b)(6a - 5)$

Мы получили выражение, эквивалентное исходному многочлену. Теперь воспользуемся условием, что разность $a - b$ кратна 11, и подставим $a - b = 11k$ в полученное выражение:

$(11k)(6a - 5) = 11 \cdot k(6a - 5)$

Поскольку $a$ и $k$ — целые числа, то выражение $6a - 5$ также является целым числом, и произведение $k(6a - 5)$ тоже будет целым числом. Обозначим это целое число как $m = k(6a - 5)$.

Таким образом, значение исходного многочлена равно $11m$, что по определению означает, что оно кратно 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразованный многочлен $(a - b)(6a - 5)$ содержит множитель $(a - b)$, который по условию кратен 11, следовательно, все произведение также кратно 11.