Номер 1, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 4 - номер 1, страница 33.

Условие.

1. Какие выражения называют тождественно равными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

1. Какие выражения называют тождественно равными?

Тождественно равными называют два выражения, значения которых совпадают при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Это значит, что какое бы допустимое число мы ни подставили вместо каждой переменной, в результате вычислений мы получим одинаковые значения для обоих выражений.

Равенство, которое является верным при любых допустимых значениях переменных, называется тождеством. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, — это тождественное преобразование.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Выражения $2(x+3)$ и $2x+6$ являются тождественно равными. Если применить распределительный закон умножения к первому выражению, мы получим второе: $2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x+6$. Это доказывает их равенство для любого значения $x$.

Пример 2: Выражения $(a+b)^2$ и $a^2+2ab+b^2$ являются тождественно равными. Это известная формула сокращенного умножения (квадрат суммы), которая является тождеством.

Пример 3 (с учётом области допустимых значений): Выражения $\frac{a^2-9}{a-3}$ и $a+3$ являются тождественно равными, но только для тех значений $a$, при которых оба выражения имеют смысл. Первое выражение не определено при $a=3$ (так как это приводит к делению на ноль). Второе выражение определено для любого $a$. Следовательно, эти выражения тождественно равны на их общей области допустимых значений, то есть при всех $a \neq 3$.

Контрпример (не тождественно равные выражения): Выражения $(c+d)^2$ и $c^2+d^2$ не являются тождественно равными. Равенство между ними выполняется лишь в частных случаях (например, если $c=0$ или $d=0$). Чтобы доказать, что они не тождественно равны, достаточно найти хотя бы одну пару значений, для которой равенство неверно. Возьмем $c=1$ и $d=2$:
Левая часть: $(1+2)^2 = 3^2 = 9$
Правая часть: $1^2+2^2 = 1+4=5$
Поскольку $9 \neq 5$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Тождественно равными называют выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.