Номер 5, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 4 - номер 5, страница 33.

Условие.

5. Какие приёмы используют для доказательства тождеств?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Для доказательства тождеств, то есть равенств, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, используют несколько основных приёмов.

1. Преобразование одной части равенства к виду другой

Этот приём заключается в том, что выбирают одну из частей тождества (обычно более сложную) и с помощью тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул и т.д.) приводят её к виду другой части.

Пример: доказать тождество $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

Доказательство: преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$.

В результате преобразований левая часть стала равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: выполняют тождественные преобразования одной из частей равенства до тех пор, пока она не станет идентичной другой части.

2. Преобразование обеих частей равенства к одному и тому же выражению

Этот метод используется, когда преобразование одной части в другую затруднительно. В этом случае преобразуют левую и правую части тождества по отдельности до тех пор, пока не получатся два одинаковых выражения.

Пример: доказать тождество $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$.

Доказательство: преобразуем отдельно левую и правую части.

Левая часть: $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta} + \frac{\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Правая часть: $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Поскольку обе части равенства приводятся к одному и тому же выражению $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$, тождество доказано.

Ответ: выполняют тождественные преобразования каждой из частей равенства и показывают, что они приводятся к одному и тому же выражению.

3. Доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю

Этот приём основан на свойстве: равенство $A=B$ равносильно равенству $A-B=0$. Составляют разность левой и правой частей данного равенства и упрощают её. Если в результате преобразований получается 0, тождество считается доказанным.

Пример: доказать тождество $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Доказательство: рассмотрим разность левой и правой частей:

$(a+b)^2 - (a^2+2ab+b^2)$.

Преобразуем это выражение: $(a^2+2ab+b^2) - (a^2+2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2 = 0$.

Так как разность равна нулю, исходное равенство является тождеством.

Ответ: составляют разность левой и правой частей равенства и доказывают, что она тождественно равна нулю.

4. Метод математической индукции

Этот метод применяется для доказательства тождеств, зависящих от натурального параметра $n$. Доказательство состоит из двух основных этапов:

1. База индукции: проверяют справедливость тождества для начального значения $n$ (обычно $n=1$).
2. Индукционный шаг: предполагают, что тождество верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$ (индукционное предположение), и доказывают, что из этого следует справедливость тождества для $n=k+1$.

Пример: доказать, что для любого натурального $n$ верно $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Доказательство:

1. База индукции: при $n=1$ левая часть равна 1. Правая часть равна $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Равенство $1=1$ верно.

2. Индукционный шаг: пусть при $n=k$ тождество верно: $1+2+...+k = \frac{k(k+1)}{2}$.

Докажем, что тождество верно для $n=k+1$, то есть $1+2+...+k+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:

$(1+2+...+k)+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Таким образом, тождество доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: используют метод математической индукции, если тождество зависит от натурального параметра, доказывая базу индукции и индукционный шаг.