Номер 132, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §4. Тождественно равные выражения. Тождества - номер 132, страница 33.

Условие.

132. Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными:

1) $ab + cd$ и $cd + ab$;

2) $(a + 1) + b$ и $a + (1 + b)$;

3) $a \cdot 4b$ и $4ab$;

4) $(x + 2)(x + 3)$ и $(3 + x)(2 + x)$;

5) $7(a - 4)$ и $7a - 28$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) ab + cd и cd + ab

Эти выражения тождественно равны на основании переместительного свойства сложения. Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В данном случае слагаемые $ab$ и $cd$ поменяли местами: $ab + cd = cd + ab$.

Ответ: переместительное свойство сложения.

2) (a + 1) + b и a + (1 + b)

Равенство этих выражений следует из сочетательного свойства сложения. Это свойство позволяет группировать слагаемые в любом порядке, не изменяя их сумму. Формула свойства: $(x + y) + z = x + (y + z)$. В данном случае $x = a$, $y = 1$, $z = b$, следовательно, $(a + 1) + b = a + (1 + b)$.

Ответ: сочетательное свойство сложения.

3) a · 4b и 4ab

Эти выражения тождественно равны благодаря сочетательному и переместительному свойствам умножения. Сначала, используя сочетательное свойство ($(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$), мы можем записать $a \cdot 4b$ как $a \cdot (4 \cdot b) = (a \cdot 4) \cdot b$. Затем, используя переместительное свойство ($x \cdot y = y \cdot x$), меняем множители местами: $(a \cdot 4) \cdot b = (4 \cdot a) \cdot b$. Наконец, снова применяем сочетательное свойство: $(4 \cdot a) \cdot b = 4 \cdot (a \cdot b)$, что равно $4ab$.

Ответ: сочетательное и переместительное свойства умножения.

4) (x + 2)(x + 3) и (3 + x)(2 + x)

Тождественное равенство этих выражений обеспечивается переместительным свойством сложения и переместительным свойством умножения. Во-первых, на основании переместительного свойства сложения мы можем утверждать, что $x + 2 = 2 + x$ и $x + 3 = 3 + x$. Во-вторых, на основании переместительного свойства умножения можно менять местами множители: $(x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2)$. Совместив эти преобразования, получаем: $(x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2) = (3 + x)(2 + x)$.

Ответ: переместительное свойство сложения и переместительное свойство умножения.

5) 7(a - 4) и 7a - 28

Равенство этих выражений является следствием распределительного свойства умножения относительно вычитания. Это свойство позволяет "раскрыть скобки", умножив множитель перед скобками на каждый член внутри скобок. Формула свойства: $x(y - z) = xy - xz$. В данном случае: $7(a - 4) = 7 \cdot a - 7 \cdot 4 = 7a - 28$.

Ответ: распределительное свойство умножения относительно вычитания.