Номер 4, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 4 - номер 4, страница 33.

Условие.

4. Какие тождественные преобразования выражений вы знаете?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Тождественные преобразования — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему, то есть принимающим то же значение при любых допустимых значениях переменных. Вот основные виды таких преобразований:

• Приведение подобных слагаемых

  Сложение и вычитание членов выражения, имеющих одинаковую буквенную часть. Преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

  Пример: $7x + 2y - 3x + y = (7x - 3x) + (2y + y) = 4x + 3y$.

• Раскрытие скобок

  Устранение скобок в выражении. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках сохраняются. Если стоит знак «−», знаки меняются на противоположные. Также используется распределительный закон умножения.

  Примеры: $a - (b - c + d) = a - b + c - d$; $5x(y - 2) = 5xy - 10x$.

• Вынесение общего множителя за скобки (разложение на множители)

  Преобразование, обратное раскрытию скобок, при котором общий множитель всех членов выражения выносится за скобки.

  Пример: $12a^2b - 18ab^2 = 6ab \cdot 2a - 6ab \cdot 3b = 6ab(2a - 3b)$.

• Использование формул сокращенного умножения

  Применение стандартных тождеств для упрощения, умножения или разложения многочленов на множители.

  Примеры: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$; квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

• Преобразования алгебраических дробей

  Включают сокращение дробей, приведение к общему знаменателю, а также сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

  Пример сокращения: $\frac{x^2 - 9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x-3$ при $x \neq -3$.

• Преобразования с использованием свойств степеней и корней

  Применение правил действий со степенями (умножение, деление, возведение в степень) и свойствами арифметических корней.

  Примеры: $x^5 \cdot x^{-2} = x^{5-2} = x^3$; $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

• Преобразования тригонометрических выражений

  Использование тригонометрических тождеств (основное тригонометрическое тождество, формулы сложения, двойного угла и т.д.) для упрощения выражений.

  Пример: $\frac{\sin(2\alpha)}{2\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos\alpha} = \sin\alpha$ при $\cos\alpha \neq 0$.

• Преобразования логарифмических выражений

  Применение свойств логарифмов (логарифм произведения, частного, степени) для упрощения и вычисления значений выражений.

  Пример: $\log_6 12 + \log_6 3 = \log_6 (12 \cdot 3) = \log_6 36 = 2$.

Ответ: К тождественным преобразованиям выражений относятся: приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, преобразования алгебраических дробей, а также преобразования, основанные на свойствах степеней, корней, тригонометрических и логарифмических функций.