Номер 5, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 5 - номер 5, страница 38.

Условие.

5. Какое число, положительное или отрицательное, получают при возведении в степень положительного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

При возведении положительного числа в любую действительную степень результатом всегда будет положительное число. Это следует из определения операции возведения в степень для различных типов показателей.

Рассмотрим основание степени $a$, которое является положительным числом ($a > 0$), и показатель степени $n$, который может быть любым действительным числом ($n \in \mathbb{R}$).

• Если показатель положительный целый ($n > 0$), то $a^n$ — это произведение $n$ положительных чисел $a$, результат которого всегда положителен. Например, $2^3 = 8$.

• Если показатель равен нулю ($n = 0$), то по определению $a^0 = 1$, что является положительным числом.

• Если показатель отрицательный целый ($n < 0$), то $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$. В знаменателе стоит положительное число (так как $-n > 0$), и частное $\frac{1}{\text{положительное число}}$ также положительно. Например, $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

• Для дробных (рациональных) и иррациональных показателей степени правило сохраняется. Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ определена для всех действительных $x$ и принимает только положительные значения, то есть её график полностью лежит выше оси абсцисс. Например, $9^{0.5} = \sqrt{9} = 3$ и $5^{\sqrt{2}} \approx 9.738 > 0$.

Таким образом, какое бы действительное число ни выступало в качестве показателя степени, результат возведения положительного основания в эту степень всегда будет положительным.

Ответ: положительное.