Номер 151, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §4. Тождественно равные выражения. Тождества - номер 151, страница 35.

Условие.

151. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 10. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи рассмотрим свойство, которое не меняется при выполнении разрешенных операций (инвариант). Таким свойством будет четность суммы всех чисел, написанных на доске.

Сначала найдем начальную сумму всех чисел от 1 до 10. Обозначим ее $S_{начальная}$.

$S_{начальная} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot (10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$.

Начальная сумма равна 55, что является нечетным числом.

Теперь проанализируем, как изменяется сумма всех чисел после выполнения одной из двух возможных операций:

1. К двум выбранным числам прибавляется 5. В этом случае общая сумма всех чисел на доске увеличивается на $5 + 5 = 10$.

2. Из двух выбранных чисел вычитается 1. В этом случае общая сумма всех чисел на доске уменьшается на $1 + 1 = 2$.

В обоих случаях сумма изменяется на четное число (10 или -2). Если к нечетному числу (нашей начальной сумме 55) прибавлять или из него вычитать четное число, результат всегда будет нечетным. Это означает, что четность суммы всех чисел на доске не меняется. Следовательно, после любого количества операций сумма всех чисел на доске будет оставаться нечетной.

Теперь предположим, что нам удалось добиться того, чтобы все числа на доске оказались равными некоторому числу $k$. Поскольку на доске 10 чисел, их конечная сумма $S_{конечная}$ будет равна:

$S_{конечная} = 10 \cdot k$.

Для любого целого числа $k$ произведение $10k$ является четным числом.

Мы приходим к противоречию: с одной стороны, сумма чисел на доске в результате операций всегда должна оставаться нечетной, а с другой стороны, в желаемом конечном состоянии она должна быть четной. Такое одновременно невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.